今回のテーマは「定積分と面積(3)」です。

「関数f(x)のグラフと、関数g(x)のグラフで構成される面積」について、３つあるパターンのうちの最後になります。今回は、図のように、 上のグラフと下のグラフが途中で入れ替わるパターン です。

積分区間はx=aからx=bまでです。右上がりのy=f(x)のグラフと、右下がりのy=g(x)のグラフがx=pで交わっていますね。このx=pを境に、 上のグラフと下のグラフが入れ替わっている のです。こんなときは、 x=pの左側と右側で分けて積分 を行います。

定積分で面積を求めるときの考え方は、これまでとまったく同じです。 上側の曲線と下側の曲線に注目 して、 「上の曲線－下の曲線」の積分 で求めるのでした。

今回の図をよく見てください。交点の右と左でグラフの上下関係が変わっていますね。
交点の左側では、上がy=g(x)下がy=f(x)
交点の右側では、上がy=f(x)下がy=g(x)です。

この図形は2つに分断して考えましょう。

交点の左側 では、 上がy=g(x)下がy=f(x) で面積のスタートはx=a，終点はx=pです。面積= ∫_a^p{g(x)-f(x)}dx と求めることができますね！

交点の右側 では、 上がy=f(x)下がy=g(x) で面積のスタートはx=p，終点はx=bです。面積= ∫_p^b{f(x)-g(x)}dx と求めることができます！後はこれらを合体するだけです。

面積は 「上の曲線－下の曲線」の積分 で求めるのです。実際に例題・練習の問題を解いてみましょう。