高校数学Ⅱ

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5分でわかる!定積分と面積(3)

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この動画の要点まとめ

ポイント

定積分と面積(3)

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回のテーマは「定積分と面積(3)」です。

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「関数f(x)のグラフと、関数g(x)のグラフで構成される面積」について、3つあるパターンのうちの最後になります。今回は、図のように、 上のグラフと下のグラフが途中で入れ替わるパターン です。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 ポイント 図
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積分区間はx=aからx=bまでです。右上がりのy=f(x)のグラフと、右下がりのy=g(x)のグラフがx=pで交わっていますね。このx=pを境に、 上のグラフと下のグラフが入れ替わっている のです。こんなときは、 x=pの左側と右側で分けて積分 を行います。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 ポイント

「上の曲線-下の曲線」の積分!

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定積分で面積を求めるときの考え方は、これまでとまったく同じです。 上側の曲線と下側の曲線に注目 して、 「上の曲線-下の曲線」の積分 で求めるのでした。

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今回の図をよく見てください。交点の右と左でグラフの上下関係が変わっていますね。
交点の左側では、上がy=g(x)下がy=f(x)
交点の右側では、上がy=f(x)下がy=g(x)です。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 ポイント 図
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この図形は2つに分断して考えましょう。

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交点の左側 では、 上がy=g(x)下がy=f(x) で面積のスタートはx=a,終点はx=pです。面積= ap{g(x)-f(x)}dx と求めることができますね!

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交点の右側 では、 上がy=f(x)下がy=g(x) で面積のスタートはx=p,終点はx=bです。面積= pb{f(x)-g(x)}dx と求めることができます!後はこれらを合体するだけです。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 ポイント
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面積は 「上の曲線-下の曲線」の積分 で求めるのです。実際に例題・練習の問題を解いてみましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

定積分と面積(3)
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