今回のテーマは「放物線と直線で囲まれる図形の面積について」です。

これまでグラフで囲まれる部分の面積は、 「上のグラフ」－「下のグラフ」の定積分 で求めましたね。もし、求める面積が 「放物線と直線」で囲まれる図形 である場合、実はとても便利な計算公式が利用できます。さっそくその公式を紹介しましょう。

ポイントについて詳しく解説しましょう。

放物線y= a x²+bx+c・・・①と直線y=px+q・・・②について、2つのグラフは、 x=α、β(α＜β) で交わるものとします。すると、2つのグラフの交わり方は、次の図のような2パターンになりますね。

①②で囲まれる図形の面積をSとすると、これまでは「上の面積」－「下の面積」の定積分を頑張って計算していましたね。しかし、 「放物線と直線」で囲まれる図形の面積 である場合、実は計算を進めていくと、求める面積は必ず S=|a|/6(β-α)³ になるのです。

この計算に必要なのはわずか３つです。 放物線の式におけるx²の係数a 、 2つのグラフの交点のx座標α・β だけでよいのです。 aには絶対値がついている ということに注意しましょう。

この公式を覚えておくと、計算がとてもラクになり、スピーディーに問題を解くことができます。この公式を使って例題・練習を解いていきましょう。