高校数学Ⅱ

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5分で解ける!定積分で表示された関数(2)に関する問題

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5分で解ける!定積分で表示された関数(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分32 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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積分区間にxが登場する関数f(x)の式を求める問題です。 xで微分して∫を外す のがポイントでしたね。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法32 ポイント

両辺を微分しよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法32 練習

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∫の積分区間にxが入っていますね。つまり、この式はxの関数になります。

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axf(t)dtをxで微分すれば、
{∫axf(t)dt}´=f(x)
として、∫を外すことができましたね。

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両辺を微分すれば、次のようにf(x)の式を求めることができます。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法32 練習 4行目まで

aの値を求めるには?

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ただし、今回の問題はf(x)の式を求めて終わりではありませんね。積分区間に含まれている定数aの値も求める必要があります。どうすればaの値は求まるでしょうか?

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f(x)における xは変数 であり、 xはどんな値もとりうる ことに注目しましょう。x=aをとることもできるわけです。x=aを与式に代入すると、積分区間の上端と下端がいずれもaで揃うので、 aaf(t)dtの値は0 となります。一方、 aaf(t)dt=a2-3a+2 なので、aについての2次方程式を作ることができますね。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法32 練習 答え
定積分で表示された関数(2)
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