高校数学Ⅱ

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5分で解ける!定積分と面積の関係に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分23 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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座標平面上の面積を求める問題ですね。定積分を利用すると、関数f(x)のグラフやx軸で囲まれる面積を求めることができましたね。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 ポイント

求める面積Sをイメージしよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 例題

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求める面積Sがどのようになるのか、グラフをかいて確認しましょう。直線y=x+1と、2直線x=1,x=3及びx軸で囲まれる図形の面積Sは下図になりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 例題 答えの図
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求める面積は 台形 になりますね!「(上底+下底)×高さ÷2」で求めることもできますが、今回は 定積分 で求めてみましょう!

「動く線分の長さ」と「スタート・ゴールの位置」

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 例題 答えの図
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定積分の面積計算で必要になる情報は、何だったか覚えていますか。 ①動く線分の長さ ②スタートの位置 ③ゴールの位置 でしたね。

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①動く線分の長さ は、y=x+1のグラフのy座標です。したがって 長さx+1 となりますね。 長さx+1の線分が動いていき、面積Sをつくる わけです。また、図から ②スタートの位置x=1③ゴールの位置x=3 とわかりますね。

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この3つの情報をもとに、面積Sを求める定積分の式を作りましょう。 長さx+1の線分 を、 スタート地点(x=1)からゴール地点(x=3)まで動かしたときの面積 となるので、次のように立式できます。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 例題 答えの1行目
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後はこの計算を進めるだけで、面積Sは求まります。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 例題 答え
定積分と面積の関係
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