高校数学Ⅰ

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5分で解ける!対偶とは?に関する問題

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5分で解ける!対偶とは?に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅰ 数と式78 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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「対偶」 に関する問題を解こう。
ポイントは以下の通りだよ。 「対偶は、もとの命題と真偽が一致する」 という点は必ず押さえよう。

POINT
高校数学Ⅰ 数と式78 ポイント

「対偶」は「逆にして、裏にする」

高校数学Ⅰ 数と式78 練習(1)

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「逆」 にして、 「裏」 にすれば「対偶」だよ。

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まず、「逆」を考えると、
「nは奇数⇒n2は偶数」

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さらに「裏」にすると、
「nは偶数⇒n2は奇数」

2×□の形なら偶数!

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真偽を調べてみよう。
nは偶数だから、n=2k(kは整数)とすると、
2=(2k)2=4k2

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4k2は、2×(2k2)と考えることができるから、これは必ず偶数となり、奇数にはならないよね。

(1)の答え
高校数学Ⅰ 数と式78 練習(1)の答え

高校数学Ⅰ 数と式78 練習(2)

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「逆」 にして、 「裏」 にすれば「対偶」だよ。

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まず、「逆」を考えると、
「m+nは偶数⇒m,nはともに偶数」
「m,nはともに偶数」というのは、言い換えると 「mは偶数、かつ、nは偶数」 だよ。

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さらに「裏」にすると、
  「m+nは奇数⇒mは奇数、または、nは奇数」
 これが、「対偶」だね。

対偶は、もとの命題と真偽が一致

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真偽を調べるんだけど、「m+nは奇数⇒mは奇数、または、nは奇数」って、ものすごくイメージしづらいよね。
そこで、ポイント 「対偶は、もとの命題と真偽が一致する」 を使ってみよう。
つまり、「対偶」の真偽が分かりづらいなら、「もとの命題」の真偽を考えればいいんだ。

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もとの命題について、m,nはともに偶数だから、
m=2k,n=2l(m,lは整数)とおくと、
m+n=2k+2l=2(k+l)
「m+nは偶数」になり、もとの命題は「真」であることがわかるね。

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「対偶は、もとの命題と真偽が一致する」ことから、対偶の真偽は、「真」になるよ。

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この発想の転換はとても重要だよ。
今回は、「対偶」の真偽が分かりづらくて、「もとの命題」の真偽を考えたね。
逆に、 「もとの命題」の真偽が分かりづらい ときは、 「対偶」の真偽を考えればいい んだ。

(2)の答え
高校数学Ⅰ 数と式78 練習(2)の答え
対偶とは?
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