高校数学Ⅰ

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5分で解ける!無理数であることの証明(背理法)に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

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高校数学Ⅰ 数と式82 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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無理数であることをそのまま証明するのは無理だから、以下のポイントに従って 背理法 を使おう。
問題の形はさっきの例題と全く同じだよ。背理法での証明の仕方に慣れよう。

POINT
高校数学Ⅰ 数と式82 ポイント

まずは有理数であると仮定

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1+3√2が有理数であると仮定しよう。
証明では、最初に 「文章を式にする」 んだよね。
1+3√2が 有理数k であると仮定すると、 1+3√2=k  となるね。

整理して矛盾を見つけよう

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唯一の手がかりは、 「√2が無理数である」 ということ。
だから√2に注目して、式を「√2=□」の形に変形しよう。
すると、 √2=k/3-1/3  となるね。

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左辺の√2は無理数。
右辺の k/3-1/3は有理数
これで、 矛盾 を示すことができたよ。

結論に持っていこう

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1+3√2を「有理数」だと 仮定 してみたら、 矛盾 が生じたよ。
そもそも 仮定が間違っていた ということだね。
つまり、1+3√2は有理数ではなく、無理数だったんだね。

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これで、背理法での証明は完了だ。
証明問題の解答としてまとめるなら、以下のような感じになるよ。

答え
高校数学Ⅰ 数と式82 練習の答え
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無理数であることの証明(背理法)
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