「無理数であることを示せ」 というのはキーワードだよ。
そのまま証明するのは無理だから、以下のポイントに従って、 背理法 を使おう。

１＋√３が有理数であると仮定しよう。
証明では、最初に 「文章を式にする」 んだったね。

１＋√３が 有理数ｋ であると仮定すると、
１＋√３＝ｋ 　となるね。

次は「計算をする」んだけど、何をどう計算すればいいのかな？
今使える手がかりは、１つしかないよね。
それは、 「√３が無理数である」 ということ。

だから√３に注目して、式「１＋√３＝ｋ」を「√３＝□」の形に変形してみよう。
すると、 √３＝ｋ－１ となるね。

　でも、 √３＝ｋ－１ って・・・おかしくないかな？
左辺の√３は無理数なんだよね。
でも右辺は？　 ｋが有理数 だから、 ｋ－１も有理数 だよ。

（無理数）＝（有理数） なんてありえないから、これは決定的な 矛盾 だ。
そもそも 仮定が間違っていた ということだよ。

つまり、１＋√３は有理数ではなく、無理数だったんだね。

これで、背理法での証明は完了だよ。
証明問題の解答としてまとめるなら、以下のような感じになるよ。