高校数学Ⅰ
5分で解ける!無理数であることの証明(背理法)に関する問題
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この動画の問題と解説
例題
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解説
これでわかる!
例題の解説授業
POINT
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有理数であると仮定しよう
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1+√3が有理数であると仮定しよう。
証明では、最初に 「文章を式にする」 んだったね。
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1+√3が 有理数k であると仮定すると、
1+√3=k となるね。
整理して矛盾を見つけよう
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次は「計算をする」んだけど、何をどう計算すればいいのかな?
今使える手がかりは、1つしかないよね。
それは、 「√3が無理数である」 ということ。
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だから√3に注目して、式「1+√3=k」を「√3=□」の形に変形してみよう。
すると、 √3=k-1 となるね。
結論に持っていこう
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でも、 √3=k-1 って・・・おかしくないかな?
左辺の√3は無理数なんだよね。
でも右辺は? kが有理数 だから、 k-1も有理数 だよ。
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(無理数)=(有理数) なんてありえないから、これは決定的な 矛盾 だ。
そもそも 仮定が間違っていた ということだよ。
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つまり、1+√3は有理数ではなく、無理数だったんだね。
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これで、背理法での証明は完了だよ。
証明問題の解答としてまとめるなら、以下のような感じになるよ。
答え
![高校数学Ⅰ 数と式82 例題の答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_1/1_4_82_2/k_mat_1_1_4_82_2_image02.png)
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「無理数であることを示せ」 というのはキーワードだよ。
そのまま証明するのは無理だから、以下のポイントに従って、 背理法 を使おう。