高校数学Ⅰ

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5分で解ける!無理数であることの証明(背理法)に関する問題

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5分で解ける!無理数であることの証明(背理法)に関する問題

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この動画の問題と解説

例題

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅰ 数と式82 例題

解説

これでわかる!
例題の解説授業
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「無理数であることを示せ」 というのはキーワードだよ。
そのまま証明するのは無理だから、以下のポイントに従って、 背理法 を使おう。

POINT
高校数学Ⅰ 数と式82 ポイント

有理数であると仮定しよう

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1+√3が有理数であると仮定しよう。
証明では、最初に 「文章を式にする」 んだったね。

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1+√3が 有理数k であると仮定すると、
1+√3=k  となるね。

整理して矛盾を見つけよう

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次は「計算をする」んだけど、何をどう計算すればいいのかな?
今使える手がかりは、1つしかないよね。
それは、 「√3が無理数である」 ということ。

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だから√3に注目して、式「1+√3=k」を「√3=□」の形に変形してみよう。
すると、 √3=k-1 となるね。

結論に持っていこう

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 でも、 √3=k-1 って・・・おかしくないかな?
左辺の√3は無理数なんだよね。
でも右辺は?  kが有理数 だから、 k-1も有理数 だよ。

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(無理数)=(有理数) なんてありえないから、これは決定的な 矛盾 だ。
そもそも 仮定が間違っていた ということだよ。

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つまり、1+√3は有理数ではなく、無理数だったんだね。

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これで、背理法での証明は完了だよ。
証明問題の解答としてまとめるなら、以下のような感じになるよ。

答え
高校数学Ⅰ 数と式82 例題の答え
無理数であることの証明(背理法)
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