高校数学Ⅲ
5分で解ける!y軸の周りの回転体の体積に関する問題
![高校数学Ⅲ](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/subject_symbol_border_k0_mathematics_3-c4572ba7c8a2ac3a200f553dfcd3149de4e1b02a78409f01388ce309278d007a.png)
- ポイント
- 問題
- 問題
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/components/movie_size-f89110ba4a351d85c483bb12f73c7cf89e2ba13a9174f58b4a38599d28678843.png)
この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
解説
これでわかる!
問題の解説授業
POINT
![積分法とその応用44 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_3_44_2/k_mat_3_7_3_44_1_image01.png)
曲線y=x2+1を図示しよう
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
まずは,求める立体がどのような図形になるか,を考えます。曲線y=x2+1,および直線y=2を図示してみると,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
求める立体は,上図の曲線をy軸周りにクルッと回転させた図形だとわかります。
断面積をyの関数で表す
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
断面積S(y)はどう表せるでしょうか?図の立体をy軸に垂直な平面で切断したとき,半径がxとなることから,
S(y)=πx2
このとき,y=x2+1より,x2=y-1と変換して,
S(y)=π(y-1)
です。したがって,S(y)=π(y-1)を,1から2までの区間でyで積分して,
∫12π(y-1)dy
= π[(1/2)y2-y]12
この計算を進めると,答えが求まります。
答え
![積分法とその応用44 問題1 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_3_44_2/k_mat_3_7_3_44_2_image03.png)
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
曲線y=x2+1を,y軸の周りに回転させてできる立体の体積Vを求める問題です。y軸の周りの回転体は, 断面積の半径をx と見て,次のように求めることができます。