曲線y=x²+1を，y軸の周りに回転させてできる立体の体積Vを求める問題です。y軸の周りの回転体は， 断面積の半径をx と見て，次のように求めることができます。

まずは，求める立体がどのような図形になるか，を考えます。曲線y=x²+1，および直線y=2を図示してみると，

求める立体は，上図の曲線をy軸周りにクルッと回転させた図形だとわかります。

断面積S(y)はどう表せるでしょうか？図の立体をy軸に垂直な平面で切断したとき，半径がxとなることから，
S(y)=πx²
このとき，y=x²+1より，x²=y-1と変換して，
S(y)=π(y-1)
です。したがって，S(y)=π(y-1)を，1から2までの区間でyで積分して，
∫₁²π(y-1)dy
= π[(1/2)y²-y]₁²
この計算を進めると，答えが求まります。