高校数学Ⅲ

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5分で解ける!y軸の周りの回転体の体積に関する問題

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5分で解ける!y軸の周りの回転体の体積に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用44 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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曲線y=x2+1を,y軸の周りに回転させてできる立体の体積Vを求める問題です。y軸の周りの回転体は, 断面積の半径をx と見て,次のように求めることができます。

POINT
積分法とその応用44 ポイント

曲線y=x2+1を図示しよう

積分法とその応用44 問題1

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まずは,求める立体がどのような図形になるか,を考えます。曲線y=x2+1,および直線y=2を図示してみると,

積分法とその応用44 問題1 手がき図のみ

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求める立体は,上図の曲線をy軸周りにクルッと回転させた図形だとわかります。

断面積をyの関数で表す

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断面積S(y)はどう表せるでしょうか?図の立体をy軸に垂直な平面で切断したとき,半径がxとなることから,
S(y)=πx2
このとき,y=x2+1より,x2=y-1と変換して,
S(y)=π(y-1)
です。したがって,S(y)=π(y-1)を,1から2までの区間でyで積分して,
12π(y-1)dy
= π[(1/2)y2-y]12
この計算を進めると,答えが求まります。

答え
積分法とその応用44 問題1 答え
y軸の周りの回転体の体積
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