今回は曲線の長さの求め方について解説します。

媒介変数tによって，(f(t)，g(t))で表される曲線において，t=aからt=bまでの区間の曲線の長さLを考えます。

このとき，曲線の長さLは，次の公式によって求めることができます。

曲線の長さLは，t=aからt=bまでの区間の定積分を求めます。このとき，∫の横に入る式は，√{(xをtで微分)²+(yをtで微分)²}となるのですね。曲線の長さを求める公式としてしっかり覚えましょう。

曲線の長さの公式が，なぜこのようになるかわかりますか？ 重要になるのは，2点間の距離の公式です。

tの変化が0に限りなく近いとき，Lの長さをdLとすると，2点間の距離の公式より，
(dL)²=(dx)²+(dy)²
つまり，
(dL/dt)=√{(dx/dt)²+(dy/dt)²}
この式は，tの変化が0に限りなく近いときのLの変化の割合を表します。よって，(dL/dt)を，aからbまでの区間でtで定積分したものが曲線の長さLとなり，ポイントの公式が導けます。