高校数学Ⅲ

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5分でわかる!曲線の長さ(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

曲線の長さ(1)

積分法とその応用45 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は曲線の長さの求め方について解説します。

√{(xをtで微分)2+(yをtで微分)2}を定積分

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媒介変数tによって,(f(t),g(t))で表される曲線において,t=aからt=bまでの区間の曲線の長さLを考えます。

積分法とその応用45 ポイントの図

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このとき,曲線の長さLは,次の公式によって求めることができます。

POINT
積分法とその応用45 ポイント
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曲線の長さLは,t=aからt=bまでの区間の定積分を求めます。このとき,∫の横に入る式は,√{(xをtで微分)2+(yをtで微分)2}となるのですね。曲線の長さを求める公式としてしっかり覚えましょう。

「曲線の長さ」の公式の導出

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曲線の長さの公式が,なぜこのようになるかわかりますか? 重要になるのは,2点間の距離の公式です。

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tの変化が0に限りなく近いとき,Lの長さをdLとすると,2点間の距離の公式より,
(dL)2=(dx)2+(dy)2
つまり,
(dL/dt)=√{(dx/dt)2+(dy/dt)2}
この式は,tの変化が0に限りなく近いときのLの変化の割合を表します。よって,(dL/dt)を,aからbまでの区間でtで定積分したものが曲線の長さLとなり,ポイントの公式が導けます。

POINT
積分法とその応用45 ポイント
Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

曲線の長さ(1)
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