高校数学Ⅲ
5分でわかる!曲線の長さ(1)
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この動画の要点まとめ
ポイント
曲線の長さ(1)
これでわかる!
ポイントの解説授業
√{(xをtで微分)2+(yをtで微分)2}を定積分
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媒介変数tによって,(f(t),g(t))で表される曲線において,t=aからt=bまでの区間の曲線の長さLを考えます。
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このとき,曲線の長さLは,次の公式によって求めることができます。
POINT
![積分法とその応用45 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_3_45_1/k_mat_3_7_3_45_1_image01.png)
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曲線の長さLは,t=aからt=bまでの区間の定積分を求めます。このとき,∫の横に入る式は,√{(xをtで微分)2+(yをtで微分)2}となるのですね。曲線の長さを求める公式としてしっかり覚えましょう。
「曲線の長さ」の公式の導出
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曲線の長さの公式が,なぜこのようになるかわかりますか? 重要になるのは,2点間の距離の公式です。
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tの変化が0に限りなく近いとき,Lの長さをdLとすると,2点間の距離の公式より,
(dL)2=(dx)2+(dy)2
つまり,
(dL/dt)=√{(dx/dt)2+(dy/dt)2}
この式は,tの変化が0に限りなく近いときのLの変化の割合を表します。よって,(dL/dt)を,aからbまでの区間でtで定積分したものが曲線の長さLとなり,ポイントの公式が導けます。
POINT
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今回は曲線の長さの求め方について解説します。