高校数学Ⅲ

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5分で解ける!体積の計算(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
体積の計算(2)

積分法とその応用42 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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xyz空間において,xが0≦x≦1で変化するとき,△PQRが通過してできる立体の体積を求める問題です。

△PQRを図示しよう

積分法とその応用42 問題

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与えられた条件から,まずは△PQRを図示してみましょう。△PQRのx座標は,いずれもxなので,面PQRはx軸に垂直な平面になりますね。

積分法とその応用42 問題 手がき図

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このとき,△PQRがRQ=RPの二等辺三角形であることがわかりますか? P,Qはz座標が等しく,y座標の符号が異なる点になるので,x軸に対して対称です。また,Rは,y座標が0なので,xz平面にあります。よって,△PQRはRQ=RPの二等辺三角形であるといえます。

断面積は(底辺)×(高さ)÷2

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求める立体の断面積は△PQRの面積となります。三角形の面積公式(底辺)×(高さ)÷2より,

積分法とその応用42 問題 答え3~5行目

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△PQR=√(1-x2)
とわかりました。

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したがって,断面積√(1-x2)を,0から1の区間で定積分して,
01√(1-x2)dx
ここで,y=√(1-x2)とおくと,
y2=(1-x2)
⇔x2+y2=1
より,∫01√(1-x2)dxは,半径1の上半円の面積を表すので,
01√(1-x2)dx=(1/4)π×12=(1/4)π
と答えを求めることができます。

答え
積分法とその応用42 問題 答え
体積の計算(2)
3
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