分数式の和の極限を求める問題です。「あれっ!? 積分法の授業なのに，どうして極限が……」と不思議に思う人もいますよね。実はこの問題，区分求積法を使って，極限と積分を結びつけて解く問題なのです。

区分求積法は，曲線によって囲まれる面積を，たくさんの長方形に分割して計算する解法です。例えば，f(x)=x²とおくとき，曲線y=x²とx軸，およびx=1で囲まれる図形の面積は，

図の色を塗った部分です。この面積が，積分法を使って，
∫₀¹x²dx
で求められることは，学習しましたね。

一方，同じ面積を極限を使って表してみます。曲線y=x²とx軸，およびx=1で囲まれる図形を，n個の長方形に分割してみましょう。

図のように，横の長さが(1/n)，縦の長さが(1/n)²，(2/n)²，(3/n)²……，(n/n)²である長方形になりますね。これらの長方形の面積の和は，
(1/n){(1/n)²+(2/n)²+(3/n)²+……+(n/n)²}
=(1/n){f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+……+f(n/n)}
です。このとき，n分割のnを∞に近づけていく極限を考えれば，曲線からはみ出た長方形の部分が小さくなっていき，面積∫₀¹x²dxと等しい値になります。このように，面積を細分化して考える方法を区分求積法というのです。

区分求積法の意味がわかりましたか？ この解法を使って，冒頭で示された問題を解いてみましょう。

まず，limの右側の式をS_nとおき，n分割します。

ここで，f(x)=(1/x+1)とおくと，S_nは，横の長さ(1/n)，縦の長さf(1)，f(2)，……，f(n)の長方形の面積の和を表します。つまり，S_nは，下図の斜線部の面積を表すのです。

求める値は，nが∞を目指すときのlimS_nです。nが∞を目指すとき，下図の斜線部の面積は，曲線y=f(x)とx軸，およびx=1で囲まれる図形の面積と等しくなりますね。よって，与式は定積分∫₀¹f(x)dxに置き換えて計算できるのです。