円すいの体積の公式を証明する問題です。底面の半径r，高さhの直円すいの体積が(1/3)πr²hであることは，中学校の数学で学習しました。この問題では，積分を使って，直円すいの体積公式を導きましょう。

底面の半径r，高さhの直円すいをx軸に沿って置いてみましょう。

断面積の中心をx軸上に置くと，上図のようになりますね。図の円すいをx軸に垂直な平面で切断したときの断面積をS(x)とするとき，
∫₀^hS(x)dx
で体積を求めることができます。

断面積S(x)はどう表せるでしょうか？ 円すいの断面積は，xの値によって変化します。図で，△OPP'と△OQQ'の相似を利用して，

断面積の半径は，(r/h)xと表せます。したがって，π(r/h)²x²をxで積分するとき，
∫₀^hS(x)dx
=∫₀^hπ(r/h)²x²dx
= (1/3)[π(r/h)²x³]₀^h
として計算することができますね。

証明は，次のように記述するとよいでしょう。