高校数学Ⅲ

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5分で解ける!体積の計算(1)に関する問題

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5分で解ける!体積の計算(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用41 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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円すいの体積の公式を証明する問題です。底面の半径r,高さhの直円すいの体積が(1/3)πr2hであることは,中学校の数学で学習しました。この問題では,積分を使って,直円すいの体積公式を導きましょう。

POINT
積分法とその応用41 ポイント

円すいをx軸に沿って置く

積分法とその応用41 問題2

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底面の半径r,高さhの直円すいをx軸に沿って置いてみましょう。

積分法とその応用41 問題2 手がき図のみ

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断面積の中心をx軸上に置くと,上図のようになりますね。図の円すいをx軸に垂直な平面で切断したときの断面積をS(x)とするとき,
0hS(x)dx
で体積を求めることができます。

断面積をxの関数で表す

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断面積S(x)はどう表せるでしょうか? 円すいの断面積は,xの値によって変化します。図で,△OPP'と△OQQ'の相似を利用して,

積分法とその応用41 問題2 手がき図と,その下の3行分

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断面積の半径は,(r/h)xと表せます。したがって,π(r/h)2x2をxで積分するとき,
0hS(x)dx
=∫0hπ(r/h)2x2dx
= (1/3)[π(r/h)2x3]0h
として計算することができますね。

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証明は,次のように記述するとよいでしょう。

答え
積分法とその応用41 問題2 答え
体積の計算(1)
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