高校数学Ⅲ

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5分で解ける!定積分と面積(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
定積分と面積(1)

積分法とその応用38 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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0π|cosx|dx の値を求める問題です。絶対値がついた関数を定積分するパターンになります。

グラフをかいて,「面積」を考える!

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0π|cosx|dx の式だけを見て解こうとすると,「cosxが正のときは…,負のときは……」と場合分けがたくさんあり,ややこしいことになってしまいます。ここでは, 0π|cosx|dx について,y=|cosx|のグラフをかき,「面積」で考えていく ことにしましょう。

x軸より下側を折り返したグラフ

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まずは,0≦x≦πの範囲で,y=|cosx|をかいて,面積を図示しましょう。y=cosxは,(0,1)を出発点とする周期2πの波形グラフです。y=|cosx|は,y=cosxのグラフのうち,x軸よりも下側にある部分をx軸について対称に折り返したグラフとなります。

積分法とその応用38 問題 答えの図

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cosx=0となるのは,x=(π/2)のときなので,上図のようになりますね。この斜線部の面積Sが,∫0π|cosx|dx の値を表します。

(π/2)を分岐点に考える

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面積は, (上の曲線)-(下の曲線)の定積分 で計算します。図より, 0≦x≦(π/2)(上の曲線)-(下の曲線)=cosx(π/2)≦x≦π(上の曲線)-(下の曲線)=-cosx であるとわかります。

積分法とその応用38 問題 答えの図

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よって, (π/2)を分岐点 として,
0π|cosx|dx
=∫0(π/2)cosxdx+∫(π/2)π(-cosx)dx
を計算すると,答えが求まりますね。

答え
積分法とその応用38 問題 答え すべて

絶対値がついた関数の定積分は「面積」!

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ポイントはつかめましたか? 今回の問題のように,絶対値がついた関数f(x)の定積分∫ab|f(x)|dxは「面積」で考えるようにしましょう。

POINT
積分法とその応用38 ポイント
定積分と面積(1)
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