高校数学Ⅲ

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5分で解ける!定積分と面積(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
定積分と面積(2)

積分法とその応用39 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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0a√(a2-x2)dx の値を求める問題です。この問題,以前に学習した置換積分法で解くこともできるのですが,それよりもラクな計算方法があります。

「x=asinθ」の置換よりラクな計算とは?

積分法とその応用39 問題

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置換積分法を覚えていますか? ∫0a√(a2-x2)dxは,x=asinθとおき,∫0aa√(1-sin2θ)dx=∫0aa√(cos2θ)dxとして,計算を進めるのがセオリーでしたね。しかし,実は定積分の値を面積で考えるともっと簡単に計算ができます。

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0a√(a2-x2)dx は,曲線y=√(a2-x2)とx軸で囲まれる図形の面積です(y≧0)。y=√(a2-x2)の両辺を2乗すると,
y2=a2-x2
x2+y2=a2
となり,曲線y=√(a2-x2)は,円x2+y2=a2のy≧0の部分だとわかります。

円とわかれば,定積分計算は不要

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今回は,0からaまでの積分区間なので,求める面積は下図の斜線部ですね。

積分法とその応用39 問題 答えの図

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求める値は, 半径aの円の面積の(1/4) だとわかりましたか? 半径aの円の面積はπa2なので,その(1/4)が答えとなるわけです。

答え
積分法とその応用39 問題 答え すべて

定積分の値を求める「2つのルート」

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定積分の値を求めるときは,2つの解法があることを頭に入れておきましょう。1つは,ガリガリ計算を進めて力技で解く方法。もう1つは,定積分の値を面積で考えて,図形的に解く方法です。問題に応じて,2つの解法を使い分けられるようにしておきましょう。

POINT
積分法とその応用39 ポイント
定積分と面積(2)
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