∫₀^a√(a²-x²)dx の値を求める問題です。この問題，以前に学習した置換積分法で解くこともできるのですが，それよりもラクな計算方法があります。

置換積分法を覚えていますか？ ∫₀^a√(a²-x²)dxは，x=asinθとおき，∫₀^aa√(1-sin²θ)dx=∫₀^aa√(cos²θ)dxとして，計算を進めるのがセオリーでしたね。しかし，実は定積分の値を面積で考えるともっと簡単に計算ができます。

∫₀^a√(a²-x²)dx は，曲線y=√(a²-x²)とx軸で囲まれる図形の面積です(y≧0)。y=√(a²-x²)の両辺を2乗すると，
y²=a²-x²
⇔ x²+y²=a²
となり，曲線y=√(a²-x²)は，円x²+y²=a²のy≧0の部分だとわかります。

今回は，0からaまでの積分区間なので，求める面積は下図の斜線部ですね。

求める値は， 半径aの円の面積の(1/4) だとわかりましたか？ 半径aの円の面積はπa²なので，その(1/4)が答えとなるわけです。

定積分の値を求めるときは，2つの解法があることを頭に入れておきましょう。1つは，ガリガリ計算を進めて力技で解く方法。もう1つは，定積分の値を面積で考えて，図形的に解く方法です。問題に応じて，2つの解法を使い分けられるようにしておきましょう。