高校数学Ⅲ

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5分で解ける!面積の計算(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
面積の計算(3)

積分法とその応用37 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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曲線y=(1/x),直線y=-(x/4)-(5/4) で囲まれる図形の面積Sを求める問題です。面積は, (上の曲線)-(下の曲線)の定積分 で計算することができますね。

y=(1/x),y=-(x/4)-(5/4)のグラフを図示すると……

積分法とその応用37 問題

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y=(1/x),y=-(x/4)-(5/4)をかいて,面積Sにあたる部分を図示してみましょう。y=(1/x)は,原点について対称な双曲線のグラフとなります。一方,y=-(x/4)-(5/4)は,y切片-(5/4)である右下がりの直線ですね。2曲線が交わるのは,下図のように第3象限となります。

積分法とその応用37 問題 答えの図 x=-4とx=-1を消してください

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この曲線と直線で囲まれる斜線部が,求める面積Sですね。

積分区間はどう求める?

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面積は, (上の曲線)-(下の曲線)の定積分 で計算します。今回は, (上の曲線)はy=(1/x),(下の曲線)はy=-(x/4)-(5/4) となります。

積分法とその応用37 問題 答えの図 x=-4とx=-1を消してください

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ただし,積分区間が図からはわかりません。そこで,曲線と直線を連立した(1/x)=-(x/4)-(5/4)の方程式を解き,交点のx座標を求めましょう。

積分法とその応用37 問題 答え 1~5行目

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よって, -1から-4の区間 で,(1/x)-{-(x/4)-(5/4)}を定積分すると,答えが求まります。

答え
積分法とその応用37 問題 答え すべて

2曲線の交点がわからないときの解法

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ポイントはつかめましたか? 今回の問題のように,y=f(x),y=g(x)の交点がわからないときは,f(x)=g(x)の方程式を解いて,交点のx座標を求めましょう。

POINT
積分法とその応用37 ポイント
面積の計算(3)
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