高校数学Ⅲ

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5分で解ける!x軸の周りの回転体の体積に関する問題

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5分で解ける!x軸の周りの回転体の体積に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用43 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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曲線y=sinxを,x軸の周りに回転させてできる立体の体積Vを求める問題です。x軸の周りの回転体は, 断面積の半径をf(x) と見て,次のように求めることができます。

POINT
積分法とその応用43 ポイント

曲線y=sinxを図示しよう

積分法とその応用43 問題2

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まずは,求める立体がどのような図形になるか,を考えます。曲線y=sinxを0≦x≦πで図示してみると,

積分法とその応用43 問題2 手がき図のみ

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求める立体は,上図の曲線をx軸周りにクルッと回転させた図形だとわかります。

断面積をxの関数で表す

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断面積S(x)はどう表せるでしょうか?図の立体をx軸に垂直な平面で切断したとき,半径がy=f(x)となることから,
S(x)=πy2=π{f(x)}2=πsin2x
です。したがって,S(x)=πsin2xを,0からπまでの区間でxで積分して,
0ππsin2xdx
sin2xは,三角関数の2倍角の公式を使って,
cos2x=1-2sin2x
sin2x=(1-cos2x)/2
と変換します。すると,次のように計算を進めることができます。

答え
積分法とその応用43 問題2 答え
x軸の周りの回転体の体積
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