高校数学Ⅲ

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5分で解ける!曲線の長さ(2)に関する問題

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5分で解ける!曲線の長さ(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用46 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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y=(ex+e-x)/2で表される曲線について,1+(y')2を求める問題です。この問題1は,曲線y=(ex+e-x)/2の長さを求める前フリのような問題です。

y=(ex+e-x)/2をxで微分

積分法とその応用46 問題1

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まずは,y'を求めましょう。y=(ex+e-x)/2の両辺をxで微分します。e-xは,外の関数ex,内の関数-xの合成関数と見て,合成関数の微分公式(外の微分)×(内の微分)より,
(e-x)'=-e-x
よって,y=(ex+e-x)/2の微分は,
y'=(ex-e-x)/2

1+(y')2を計算

積分法とその応用46 問題1 答え1行目

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y'=(ex-e-x)/2を,1+(y')2に代入すると,次のように答えを出すことができます。

答え
積分法とその応用46 問題1 答え

曲線の長さが求められる

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1+(y')2の値がわかれば,次のポイントの公式より,曲線y=(ex+e-x)/2の任意の区間の長さが求められますね。

POINT
積分法とその応用46 ポイント
曲線の長さ(2)
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