高校数学Ⅲ

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5分で解ける!面積の計算(1)に関する問題

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5分で解ける!面積の計算(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用35 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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曲線y=logxと,x軸,y軸およびy=2で囲まれる図形の面積Sを求める問題です。面積は, (上の曲線)-(下の曲線)の定積分 で計算することができますね。

POINT
積分法とその応用35 ポイント

y=logxのグラフを図示すると……

積分法とその応用35 問題2

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曲線y=logxと直線y=2をかいて,面積Sにあたる部分を図示してみましょう。

積分法とその応用35 問題2 答えの右側の図

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y=logxは,x軸とx=1で交わります。また,y=2の直線とy=logxの曲線との交点のx座標は,求まっていません。

(上の曲線)と(下の曲線)は?

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面積は, (上の曲線)-(下の曲線)の定積分 で計算します。ただし,今回は(上の曲線)を直線y=2と見ると,(下の曲線)は0≦x≦1ではx軸,1≦x≦(交点)まではy=logxとなり,計算が非常に面倒になります。

積分法とその応用35 問題2 答えの右側の図

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そこで,発想を転換しましょう。首を右側に90°傾けて眺めてください。 (上の曲線)はy=logx,(下の曲線)はy軸,つまりx=0 と見ることができますね!積分区間下端0から上端2 でわかりやすくなっています。

yの関数の式へ変換してから積分

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y=logxを(上の曲線)と見るためには,yの関数の式に変換する必要があります。省略されたeを記すと,y=logexより,
x=ey
曲線x=eyと,直線x=0に囲まれた,0≦y≦2の範囲の面積Sは,
S=∫02(ey-0)dy
と表すことができ,これを計算すると答えとなります。yの関数とみて,yで積分している点に注意してください。

答え
積分法とその応用35 問題2 答え すべて
面積の計算(1)
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