高校数学Ⅲ

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5分で解ける!体積の計算(1)に関する問題

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5分で解ける!体積の計算(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用41 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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円柱の体積の公式を証明する問題です。底面の半径r,高さhの直円柱の体積がπr2hであることは,中学校の数学で学習しました。この問題では,積分を使って,直円柱の体積公式を導きましょう。

POINT
積分法とその応用41 ポイント

円柱をx軸に沿って置く

積分法とその応用41 問題1

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底面の半径r,高さhの直円柱をx軸に沿って置いてみましょう。

積分法とその応用41 問題1 手がき図のみ

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断面積の中心をx軸上に置くと,上図のようになりますね。図の円柱をx軸に垂直な平面で切断したときの断面積をS(x)とするとき,
0hS(x)dx
で体積を求めることができます。

断面積をxの関数で表す

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断面積S(x)はどう表せるでしょうか? 円柱の断面積は,xの値に関わらずπr2です。したがって,πr2をxで積分するとき,πr2は定数扱いとなります。
0hS(x)dx
=∫0hπr2dx
= [πr2x]0h
として計算することができますね。

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証明は,次のように記述するとよいでしょう。

答え
積分法とその応用41 問題1 答え
体積の計算(1)
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