円柱の体積の公式を証明する問題です。底面の半径r，高さhの直円柱の体積がπr²hであることは，中学校の数学で学習しました。この問題では，積分を使って，直円柱の体積公式を導きましょう。

底面の半径r，高さhの直円柱をx軸に沿って置いてみましょう。

断面積の中心をx軸上に置くと，上図のようになりますね。図の円柱をx軸に垂直な平面で切断したときの断面積をS(x)とするとき，
∫₀^hS(x)dx
で体積を求めることができます。

断面積S(x)はどう表せるでしょうか？ 円柱の断面積は，xの値に関わらずπr²です。したがって，πr²をxで積分するとき，πr²は定数扱いとなります。
∫₀^hS(x)dx
=∫₀^hπr²dx
= [πr²x]₀^h
として計算することができますね。

証明は，次のように記述するとよいでしょう。