高校数学Ⅲ

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5分で解ける!曲線の長さ(1)に関する問題

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5分で解ける!曲線の長さ(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用45 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x=cos3t,y=sin3tで表される曲線について,0≦t≦(π/2)の区間の曲線の長さLを求める問題です。曲線の長さは,次のポイントの公式から求められます。

POINT
積分法とその応用45 ポイント
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問題1では,
(dx/dt)2+(dy/dt)2
= 9sin2tcos2t
と求めました。この値を利用して,計算しましょう。

√(9sin2tcos2t)=|3sintcost|

積分法とその応用45 問題2

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曲線の長さLは,
L=∫0(π/2)√(9sin2tcos2t)dt
によって求められます。

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√(9sin2tcos2t)=|3sintcost|
ですが,特に0≦t≦(π/2)の区間では,sinもcosも0以上になるので,
L=∫0(π/2)3sintcostdt
です。

sinの2倍角の公式を活用

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sintcost の積分方法は覚えていますか?三角関数sinの2倍角の公式を活用して,
sin2t=2sintcost
sintcost=(sin2t)/2
と変形できます。よって,
L=∫0(π/2)3sintcostdt
=(3/2)∫0(π/2)sin2tdt
=(3/2)[-(1/2)cos2t]0(π/2)
あとは代入計算をすれば,答えが求まります。

答え
積分法とその応用45 問題2 答え
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曲線の長さ(1)
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