前回に続いて，曲線の長さの求め方について解説します。

前回学習した曲線の長さの公式は，媒介変数tで表される曲線についてのものでしたね。今回は，y=f(x)で表される曲線の長さについて考えます。

このとき，曲線の長さLは，次の公式によって求めることができます。

図の曲線の長さLは，t=aからt=bまでの区間の定積分を求めます。このとき，∫の横に入る式は，√{1+(f'(x))²}となるのですね。曲線の長さを求める公式としてしっかり覚えましょう。

曲線の長さの公式が，なぜこのようになるかわかりますか？ 曲線が媒介変数tで表されるとき，
(dL/dt)=√{(dx/dt)²+(dy/dt)²}
となることを前回，学習しました。y=f(x)となるとき，x=t，y=f(t)となるので，
(dL/dx)=√{1²+(dy/dx)²}=√{1+(dy/dx)²}
この式は，xの変化が0に限りなく近いときのLの変化の割合を表します。よって，(dL/dx)を，aからbまでの区間でxで定積分したものが曲線の長さLとなり，ポイントの公式が導けます。