高校数学Ⅲ

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5分でわかる!曲線の長さ(2)

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この動画の要点まとめ

ポイント

曲線の長さ(2)

積分法とその応用46 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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前回に続いて,曲線の長さの求め方について解説します。

y=f(x)で表される曲線の長さは?

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前回学習した曲線の長さの公式は,媒介変数tで表される曲線についてのものでしたね。今回は,y=f(x)で表される曲線の長さについて考えます。

積分法とその応用46 ポイントの図

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このとき,曲線の長さLは,次の公式によって求めることができます。

POINT
積分法とその応用46 ポイント
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図の曲線の長さLは,t=aからt=bまでの区間の定積分を求めます。このとき,∫の横に入る式は,√{1+(f'(x))2}となるのですね。曲線の長さを求める公式としてしっかり覚えましょう。

「曲線の長さ」の公式の導出

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曲線の長さの公式が,なぜこのようになるかわかりますか? 曲線が媒介変数tで表されるとき,
(dL/dt)=√{(dx/dt)2+(dy/dt)2}
となることを前回,学習しました。y=f(x)となるとき,x=t,y=f(t)となるので,
(dL/dx)=√{12+(dy/dx)2}=√{1+(dy/dx)2}
この式は,xの変化が0に限りなく近いときのLの変化の割合を表します。よって,(dL/dx)を,aからbまでの区間でxで定積分したものが曲線の長さLとなり,ポイントの公式が導けます。

POINT
積分法とその応用46 ポイント
Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

曲線の長さ(2)
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