高校数学Ⅲ

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5分でわかる!y軸の周りの回転体の体積

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5分でわかる!y軸の周りの回転体の体積

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この動画の要点まとめ

ポイント

y軸の周りの回転体の体積

積分法とその応用44 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は,y軸の周りの回転体の体積について解説します。

y軸の周りの回転体とは?

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y軸の周りの回転体とは,どんな図形かイメージできますか? まずは,曲線y=f(x)を設定します。この曲線y=f(x)を,y=aからy=bまでの区間で,y軸を軸にしてくるっと回転させます。すると,y軸を回転の軸とする立体ができあがります。曲線y=f(x)上の1点1点が,y軸を中心とする円を描くので,図のような立体ができあがります。

積分法とその応用44 ポイントの図

断面積を定積分すると,体積になる!

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では,曲線y=f(x)をy軸の周りに回転させたときにできる立体の体積はどう求められるでしょうか?

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立体をy軸に垂直な平面で切断したときの断面積をS(y)とするとき,
abS(y)dy
で体積を求めることができますね。yで積分する点に注意しましょう。y軸周りの回転体の場合,断面積の半径がxとなるので,S(y)=πx2。よって,次のポイントのようにまとめられます。

POINT
積分法とその応用44 ポイント
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ようするに,曲線y=f(x)を,aからbまでの区間で,y軸の周りに回転させた立体の体積Vは,
V= abπx2dy
で求められるのです。

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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