高校数学Ⅲ

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5分で解ける!曲線の長さ(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用45 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x=cos3t,y=sin3tで表される曲線について,(dx/dt)2+(dy/dt)2を求める問題です。この問題1は,曲線x=cos3t,y=sin3tの長さを求める前フリのような問題です。

x=cos3t,y=sin3tをtで微分

積分法とその応用45 問題1

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まずは,(dx/dt),(dy/dt)を求めましょう。x=cos3t,y=sin3tの両辺をそれぞれtで微分します。x=cos3tは,外の関数□3,内の関数costの合成関数と見て,合成関数の微分公式(外の微分)×(内の微分)より,
dx/dt=3cos2t×(-sint)
同様に,y=sin3tの微分は,
dy/dt=3sin2t×cost

(dx/dt)2+(dy/dt)2を計算

積分法とその応用45 問題1 答え1行目

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dx/dt,dy/dtの値を,(dx/dt)2+(dy/dt)2に代入すると,次のように答えを出すことができます。

答え
積分法とその応用45 問題1 答え

曲線の長さが求められる

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(dx/dt)2+(dy/dt)2の値がわかれば,次のポイントの公式より,曲線x=cos3t,y=sin3tの任意の区間の長さが求められますね。

POINT
積分法とその応用45 ポイント
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