△APQの面積を求める問題ですね。
円の中心と直線との距離d、そして直線によって切り取られる線分PQの長さがわかれば面積は求めることができますね。PQの長さは、次のポイントのように、3つの手順で求めていきましょう。

円：(x-1)²+(y+2)²=9
直線:y=2x-9
について、まずはラフ図を書いてみましょう。

△APQの面積は、円の中心と直線との距離d、そして直線によって切り取られる線分PQの長さがわかれば求めることができますね。

ポイントより、第一に AM(Aとlの距離)=d を求めましょう。
点(1-2)と2x-y-9=0の距離dは、点と直線の距離の公式より、AM=√5と求まります。

次に、 △APMで三平方の定理 を使います。
斜辺は半径で3、高さはd=√5より、

PM²=3²-√5²=4
PM=2となります。
PQ=2PM=4ですね。

よって、△APQの面積は底辺×高さ÷2より、
1/2×PQ×d＝2√5ですね。