2つのベクトルが垂直になるように、未知数tの値を定める問題ですね。 「内積が0」⇔「2つのベクトルが垂直」 は、ベクトルの問題で頻出のポイントです。必ず覚えるようにしましょう。

ベクトルa=(1,3,-2),ベクトルb=(1,-2,0)です。求めたいのは、ベクトルb,cが垂直となるときのtの値です。ベクトルbの成分は問題文で与えられているので、ベクトルcの成分から求めていきましょう。

(ベクトルc)=(ベクトルa)+t(ベクトルb)
=(1,3,-2)+t(1,-2,0)
=(1+t,3-2t,-2)

ここで2つのベクトルb,cについて、 内積が0ならば垂直 になります。成分がわかっているので、 (内積)=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ の公式を使うと、
(内積)=1×(1+t)-2(3-2t)+0=5t-5=0
この方程式を解いて、t=1と求まります。