y=log|cosx|を微分する問題です。log|cosx|は， log□が外の関数 ， cosxが内の関数f(x) である合成関数log|f(x)|ですね。log|f(x)|の微分公式を活用して解きましょう。

合成関数log|f(x)|の微分は， f'(x)/f(x) となります。

分母はf(x)=cosxのままでOKですね。
分子はf(x)を微分して，
f'(x)=(cosx)'=-sinx

よって， y'=f'(x)/f(x) より，
y'=f'(x)/f(x)=-sinx/cosx=-tanx
と求まります。