「解と係数の関係」が利用できる問題です。
以下のポイントをおさえたうえで、一緒に解いていきましょう。

2次方程式を解の公式によって解き、α、βを求めようとしていませんか？
それでは、計算にとても時間がかかってしまいます。
問題文をよく見てください。

解と係数の関係から
α+β=-2
αβ=3
とわかりますね。

α²+β²、(α-β)²は
α+β,αβ を使って計算をしていくのが大事なんです。
ポイント①②を使うと、次のように計算できますね。