斜辺のＡＣの長さの最小値を求める問題だね。
ポイントは以下の通りだよ。２つの手順を意識するんだ。

まずは文章の中の情報を、どんどん図に書き込んで、目に見えるようにしていこう。

ＡＢとＢＣの長さの和が２０cmだね。 ＡＢ＝ｘcm とすると、 ＢＣ＝（２０－ｘ）cm で表せるよ。

求めたいのは「 斜辺 ＡＣの長さの最小値」だね。 「三平方の定理」 を使って、 「ＡＣ＝（ｘの式）」 を作ることを考えよう。

ＡＣ²＝ＡＢ²＋ＢＣ²
ＡＣ²＝ｘ²＋（２０－ｘ）²
とできるね。

これで、 「ＡＣ²＝（ｘ²の式）」 を作ることができたよ。

２次関数
ＡＣ²＝２ｘ²－４０ｘ＋４００
について、 ＡＣ²が最小 になるとき、 ＡＣも最小 になるね。

ＡＣ²の最小値を求めると、
ＡＣ²＝２（ｘ²－２０ｘ）＋４００
　　＝ ２（ｘ－１０）²＋２００

ＡＢ＋ＢＣ＝２０cm　だから、ｘの範囲は ０＜ｘ＜２０ だね。
よって、ＡＣ²は ｘ＝１０ のとき、 最小値２００ をとるよ。

今回の問題は、これで終わりじゃないよね。求められているのは、ＡＣの長さ。
ＡＣは三角形の １辺の長さ だから、 ＡＣ＞０
よって、ＡＣ＝√２００＝１０√２
答えは、 １０√２cm となるね。