「軸に文字を含む場合の、２次関数の最小値」 を求めよう。
ポイントは以下の通り。軸の位置、つまりａの値が 「範囲の左外側」 のとき、 「範囲の内側」 のとき、 「範囲の右外側」 のときの３パターンで場合分けしよう。

まずは、平方完成して放物線の頂点を求めよう。

ｙ＝（ｘ－ａ）²－ａ²＋１ より、
頂点は（ａ、－ａ²＋１）、下に凸な放物線がイメージできるね。

「ｘ＝ａのとき、最小値は－ａ²＋１」としたいんだけど、１≦ｘ≦３と範囲があるので、軸の位置によって場合分けしていこう。 「ａ≦１のとき」 、 「１≦ａ≦３のとき」 、 「３≦ａのとき」 の３つに分けて答えを出していくよ。

軸：ｘ＝ａが「範囲の左外側」にあるとき、つまり「（ⅰ）ａ≦１のとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

頂点が範囲の外 にあるね。だから、 頂点から最も近い、ｘ＝１のとき に最小値をとるよ。

軸：ｘ＝ａが「範囲の内側」にあるとき、つまり「（ⅱ）１≦ａ≦３のとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

頂点が範囲の内側 にあるから、 頂点 で最小値をとるね。

軸：ｘ＝ａが「範囲の右外側」にあるとき、つまり「（ⅲ）３≦ａのとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

再び 頂点が範囲の外 にあるね。 頂点から最も近い、ｘ＝３のとき に最小値をとるよ。

解答をまとめると次のようになるよ。ａの範囲によって、３通りの答えを出さなければいけないことに注意しよう。