高校数学Ⅰ

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5分で解ける!軸に文字を含む場合の最大・最小1に関する問題

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5分で解ける!軸に文字を含む場合の最大・最小1に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅰ 2次関数23 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業

軸の位置(外、内、外)で場合分け!

lecturer_avatar

「軸に文字を含む場合の、2次関数の最小値」 を求めよう。
ポイントは以下の通り。軸の位置、つまりaの値が 「範囲の左外側」 のとき、 「範囲の内側」 のとき、 「範囲の右外側」 のときの3パターンで場合分けしよう。

POINT
高校数学Ⅰ 2次関数23 ポイント

3パターンで場合分けしよう

lecturer_avatar

まずは、平方完成して放物線の頂点を求めよう。

lecturer_avatar

y=(x-a)2-a2+1 より、
頂点は(a、-a2+1)、下に凸な放物線がイメージできるね。

lecturer_avatar

「x=aのとき、最小値は-a2+1」としたいんだけど、1≦x≦3と範囲があるので、軸の位置によって場合分けしていこう。 「a≦1のとき」「1≦a≦3のとき」「3≦aのとき」 の3つに分けて答えを出していくよ。

軸:x=aが「範囲の左外側」にあるとき

lecturer_avatar

軸:x=aが「範囲の左外側」にあるとき、つまり「(ⅰ)a≦1のとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

高校数学Ⅰ 2次関数23 練習の答え 右上のグラフ
lecturer_avatar

頂点が範囲の外 にあるね。だから、 頂点から最も近い、x=1のとき に最小値をとるよ。

高校数学Ⅰ 2次関数23 練習の答え(ⅰ)のみ

軸:x=aが「範囲の内側」にあるとき

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軸:x=aが「範囲の内側」にあるとき、つまり「(ⅱ)1≦a≦3のとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

高校数学Ⅰ 2次関数23 ポイント 真ん中のグラフ
lecturer_avatar

頂点が範囲の内側 にあるから、 頂点 で最小値をとるね。

高校数学Ⅰ 2次関数23 練習の答え(ⅱ)のみ

軸:x=aが「範囲の右外側」にあるとき

lecturer_avatar

軸:x=aが「範囲の右外側」にあるとき、つまり「(ⅲ)3≦aのとき」を考えよう。
次の図のような場合だよ。

高校数学Ⅰ 2次関数23 ポイント 右のグラフ
lecturer_avatar

再び 頂点が範囲の外 にあるね。 頂点から最も近い、x=3のとき に最小値をとるよ。

高校数学Ⅰ 2次関数23 練習解答の(ⅲ)のみ
lecturer_avatar

解答をまとめると次のようになるよ。aの範囲によって、3通りの答えを出さなければいけないことに注意しよう。

答え
高校数学Ⅰ 2次関数23 練習の答え
軸に文字を含む場合の最大・最小1
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