「『最大値』をヒントに放物線の式を決める」 問題だね。
ポイントは以下の通りだよ。基本に忠実に、グラフで考えよう。

与えられた「ｙ＝－ｘ²－４ｘ＋ｃ（－３≦ｘ≦１）」という式では、この２次関数がどこで最大値をとるのかわかりにくいよね。

式を平方完成すると、
ｙ＝－（ｘ＋２）²＋４＋ｃ
頂点（－２，４＋ｃ）で、上に凸な放物線だとわかったよ。

範囲が －３≦ｘ≦１ であることに注意して、 ここでラフ図をかいてみよう。

図より、グラフはｘ＝－２のとき、最大値をとることがわかるね。
したがって
４＋ｃ＝２
定数ｃの値が定まったよ。