高校数学A

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5分で解ける!三角形の内心2【応用】に関する問題

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5分で解ける!三角形の内心2【応用】に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学A 図形の性質13 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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「内心」をヒントにして解く問題だね。 内心 とは、 内接円の中心 のこと。内接円の中心だからこそわかる、次の2つの特徴をしっかりおさえておこう。

POINT
高校数学A 図形の性質13 ポイント

補助線を引いて考えやすくしよう

高校数学A 図形の性質13 練習

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手がかりが少なそうに見えるね。考えやすくするために、 内心をI として、AI,BI,CIを結んでみよう。

高校数学A 図形の性質13 練習の答え 問題の図に補助線を書き込んだもの
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AIの延長線と辺BCとの交点をHとすると、 AHは辺BCの垂直二等分線となる ことがわかるかな? 中学校の数学で、 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する という重要な性質を学んだことを思い出そう。 AH⊥BC、BH=CH=4 となるね。

内接円の半径を求めるカギは「面積」!

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さて、何から攻めれば、半径rを求められるだろう。内接円の半径を求めるときのカギは、実は △ABCの面積 なんだ。 内接円の半径面積 には、 密接な関係 があるんだよ。図を見てみよう。

高校数学A 図形の性質13 練習の答え 問題の図に補助線を書き込んだもの
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△IBC、△ICA、△IABの3つの三角形は、それぞれ△ABCの3辺を底辺とするよね。 高さ は、すべて 内接円の半径r になっているんだ。つまり、
△ABC=△IBC+△ICA+△IAB
より、以下のような式を立てることができるよ。

高校数学A 図形の性質13 練習の答え 途中式 7行目のみ
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あとは△ABCの面積を表すことができれば、rについての方程式を立てることができるわけだ。

△ABCの面積を求めるには?

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△ABCは二等辺三角形だったね。 AH⊥BC、BH=CH=4 がわかっているから、△ABHについて、 三平方の定理 から、AHを求めよう。

高校数学A 図形の性質13 練習の答え 問題の図に補助線を書き込んだもの
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AH=√(62-42)=2√5
だよ。つまり、△ABCの面積は、
△ABC=(1/2)×8×2√5=8√5

rについての方程式が完成!

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△ABCの面積を2通りで表したことで、rについての方程式ができあがったよ。あとは、次のように答案をつくればOKだね。

答え
高校数学A 図形の性質13 練習の答え
三角形の内心2【応用】
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