高校数学A
5分で解ける!三角形の内心2【実践】に関する問題
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練習の解説授業
POINT
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補助線を引いて考えやすくしよう
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手がかりが少なそうに見えるね。考えやすくするために、 内心をI として、AI,BI,CIを結んでみよう。
![高校数学A 図形の性質13 練習の答え 問題の図に補助線を書き込んだもの](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/3_2_13_3/k_mat_a_3_2_13_3_image02.png)
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AIの延長線と辺BCとの交点をHとすると、 AHは辺BCの垂直二等分線となる ことがわかるかな? 中学校の数学で、 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する という重要な性質を学んだことを思い出そう。 AH⊥BC、BH=CH=4 となるね。
内接円の半径を求めるカギは「面積」!
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さて、何から攻めれば、半径rを求められるだろう。内接円の半径を求めるときのカギは、実は △ABCの面積 なんだ。 内接円の半径 と 面積 には、 密接な関係 があるんだよ。図を見てみよう。
![高校数学A 図形の性質13 練習の答え 問題の図に補助線を書き込んだもの](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/3_2_13_3/k_mat_a_3_2_13_3_image02.png)
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△IBC、△ICA、△IABの3つの三角形は、それぞれ△ABCの3辺を底辺とするよね。 高さ は、すべて 内接円の半径r になっているんだ。つまり、
△ABC=△IBC+△ICA+△IAB
より、以下のような式を立てることができるよ。
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あとは△ABCの面積を表すことができれば、rについての方程式を立てることができるわけだ。
△ABCの面積を求めるには?
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△ABCは二等辺三角形だったね。 AH⊥BC、BH=CH=4 がわかっているから、△ABHについて、 三平方の定理 から、AHを求めよう。
![高校数学A 図形の性質13 練習の答え 問題の図に補助線を書き込んだもの](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/3_2_13_3/k_mat_a_3_2_13_3_image02.png)
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AH=√(62-42)=2√5
だよ。つまり、△ABCの面積は、
△ABC=(1/2)×8×2√5=8√5
rについての方程式が完成!
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△ABCの面積を2通りで表したことで、rについての方程式ができあがったよ。あとは、次のように答案をつくればOKだね。
答え
![高校数学A 図形の性質13 練習の答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_a/3_2_13_3/k_mat_a_3_2_13_3_image04.png)
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「内心」をヒントにして解く問題だね。 内心 とは、 内接円の中心 のこと。内接円の中心だからこそわかる、次の2つの特徴をしっかりおさえておこう。