「内心」をヒントにして解く問題だね。 内心 とは、 内接円の中心 のこと。内接円の中心だからこそわかる、次の2つの特徴をしっかりおさえておこう。

角度 を求める問題のときは、内心は 角の二等分線の交点 である、という特徴が活用できるよ。IB，ICはそれぞれ 角の二等分線 だから、∠IBC=40°、∠ICB=25°とわかるね。

あとは、 △IBCの内角の和 から、α=180°-40°-25°で求められるね。

∠IBCと∠ICBがわかれば、αの角度までたどりつけそう だ。内心は 角の二等分線の交点 である、という特徴から、 ∠IBC=∠IBA、∠ICB=∠ICA となり、∠IBCと∠ICBの角度がわかればαをのぞく△ABCの内角がわかることになるからね。

でも、∠IBCと∠ICBの角度がなかなか求められないね。唯一わかるのは、 △IBCの内角の和 から、 ∠IBC+∠ICB=180°-130°=50° ということだけ。ここで、∠IBCと∠ICBをひとつずつ求めるのはあきらめて、 2つの角をまとめて考える ようにしてみたらどうかな？

つまり、△ABCの内角の和から、
α＝180° -(∠IBC+∠ICB)-(∠IBA+∠ICA)
⇔α＝180° -2(∠IBC+∠ICB)
⇔α＝180° -2×50°
∠IBCと∠ICBをひとつずつ求めることができなくても、αの値が出てくるね。