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5分でわかる!チェバの定理1【基本】

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この動画の要点まとめ

ポイント

チェバの定理①【基本】

高校数学A 図形の性質17 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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三角形の線分比にまつわる2つの有名な定理 「チェバの定理」「メネラウスの定理」 について学習していこう。

三角形の線分についての定理

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まずは、 「チェバの定理」 から解説していくよ。チェバの定理とは、三角形の内部(または外部)にある点と、三角形の三頂点を結んだときにできる線分比の関係についての定理なんだ。これは言葉で理解するより、次のポイントの図を見た方が理解しやすいよ。

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高校数学A 図形の性質17 ポイント
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確かに、図の三角形の内部にある点と、三角形の三頂点を結んでいるね。このとき、結んだ直線が三角形の三辺と交わり、三辺を内分しているね。その比が、上の図で、
(a/b)×(c/d)×(e/f)=1
になるわけだね。

すごろく1周のイメージ!

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チェバの定理は少し複雑な公式だよね。覚え方のコツは、 すごろく1周 のイメージだよ。

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高校数学A 図形の性質17 ポイント
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まずは、三角形の頂点を スタート地点 にしよう。スタート地点から 頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点 と、 すごろく1周 をまわるようにたどっていくんだ。このときにたどる線分を順番に 分子→分母→分子…… とかけ算をしていくと、 1 になるんだね。

チェバの定理の証明

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学習に余裕がある人は、このチェバの定理の証明方法についても、自分で図を書きながら確認しておこう。

チェバの定理の証明

点Xと△ABCの3頂点A,B,Cとを結んだ直線が,3辺BC,CA,ABまたはその延長と,それぞれP,Q,Rで交わるとする。

2点B,Cから直線AXに下ろした垂線の足をH,Kとおく。

BH // KCより,

BP:CP=BH:CK ⋯①

△ABXと△ACXは底辺がAXで共通なので,

△ABX:△ACX=BH:CK ⋯②

①,②より,

BP:PC=△ABX:△ACX

よって,

BP/PC=(△ABX)/(△ACX) ⋯③

同様に,2点C,Aから直線BXに垂線を下ろすと,

CQ/QA=(△BCX)/(△BAX) ⋯④

2点A,Bから直線CXに垂線を下ろすと,

AR/RB=(△CAX)/(△BCX) ⋯⑤

③,④,⑤の辺々をかけあわせて,

AR/RB×BP/PC×CQ/QA=(△CAX)/(△BCX)×(△ABX)/(△ACX)×(△BCX)/(△BAX)=1である。

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各頂点から、 点Xを通る直線に垂線をひいて三角形の面積比を考える のが証明のポイントだよ。このチェバの定理を活用して解く問題を、次のページから確認していこう。

Imagawa

この授業の先生

今川 和哉 先生

どんなに数学がニガテな生徒でも「これだけ身につければ解ける」という超重要ポイントを、 中学生が覚えやすいフレーズとビジュアルで整理。難解に思える高校数学も、優しく丁寧な語り口で指導。

チェバの定理1【基本】
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