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5分でわかる!メネラウスの定理1【基本】

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5分でわかる!メネラウスの定理1【基本】

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この動画の要点まとめ

ポイント

メネラウスの定理①【基本】

高校数学A 図形の性質19 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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三角形の線分比にまつわる2つの有名な定理 「チェバの定理」「メネラウスの定理」 について学習していこう。 「チェバの定理」 については、しっかり覚えることができたね。

復習
高校数学A 図形の性質18 ポイント
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「メネラウスの定理」 は、この 「チェバの定理」 とよく似た定理になるんだ。

「チェバの定理」と式は一緒

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メネラウスの定理とは、三角形と直線について、三角形の三辺(またはその延長線)と直線でできる線分比の関係についての定理なんだ。言葉で理解するより、次のポイントの図を見た方が理解しやすいよ。

POINT
高校数学A 図形の性質19 ポイント
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三角形を、ある直線が貫いているような感じだね。このとき、直線が三角形の三辺を内分あるいは外分しているね。その比が、上の図で、
(a/b)×(c/d)×(e/f)=1
になるわけだ。「メネラウスの定理」の式は、「チェバの定理」の式と一緒なんだね。

「頂点→分点→頂点→分点…」のかけ算

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メネラウスの定理も少し複雑な公式だよね。覚え方のコツは、 すごろく1周 のイメージだよ。

POINT
高校数学A 図形の性質19 ポイント
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まずは、三角形の頂点を スタート地点 にしよう。スタート地点から 頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点 と、 すごろく1周 をまわるようにたどっていくんだ。このときにたどる線分を順番に 分子→分母→分子…… とかけ算をしていくと、 1 になるんだね。チェバの定理と同じ発想になるね。

メネラウスの定理の証明

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学習に余裕がある人は、このメネラウスの定理の証明方法についても、自分で図を書きながら確認しておこう。

メネラウスの定理の証明

直線lが△ABCの3辺BC,CA,ABまたはその延長と交わる点を,それぞれP,Q,Rとする。

3点B,C,Aから直線lに下ろした垂線の足をL,M,Nとおく。

BL // CMより,

BP:PC=BL:CM 

BP/PC=BL/CM ⋯①

同様に,

CM // ANより,

CQ:AQ=CM:AN 

CQ/QA=CM/AN ⋯②

AN // BLより,

AR:BR=AN:BL 

AR/RB=AN/BL ⋯②

①,②,③の辺々をかけあわせて,

AR/RB×BP/PC×CQ/QA=AN/BL×BL/CM×CM/AN=1  である。

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各頂点から、 直線lに垂線をひいて相似な三角形の線分を考える のが証明のポイントだよ。このメネラウスの定理を活用して解く問題を、次のページから確認していこう。

Imagawa

この授業の先生

今川 和哉 先生

どんなに数学がニガテな生徒でも「これだけ身につければ解ける」という超重要ポイントを、 中学生が覚えやすいフレーズとビジュアルで整理。難解に思える高校数学も、優しく丁寧な語り口で指導。

メネラウスの定理1【基本】
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