この問題を解くポイントは、「過去進行形と未来進行形」をしっかりとおさえること。
過去進行形は「（過去に）～していた」という意味 で、
未来進行形は「（未来に）～しているだろう」という意味 だね。

じゃあ、問題を見ていこう。

まずは単語の確認をしよう。
beganは「始まる（begin）」の過去形。in the parkは「公園で」という意味だね。

文の始めについているwhen it began to rain、これは「雨が降り始めたとき」という意味だよ。
つまり、 この文は過去を表している よね。
文全体だと「過去において雨が降り始めたまさにそのとき、わたしたちは公園を走っていた。」となるね。
そう、こういうときには過去進行形を使うんだ。(1)の答えは were running だね。

つづけて(2)を見てみよう。
at this time tomorrowは「明日の今頃」、snowは「雪が降る」という意味だね。
「明日の今頃」と言っているから、 この文は未来を表している ことが分かるね。
すると、「明日の今頃には、雪が降っているだろう。」となるね。
「（未来に）～している」 、という意味にぴったりだから、未来進行形を使おう。
そう、(2)の答えは未来進行形の will be snowing になります。

partyは「パーティー」、readは「読む」という意味だよ。
この問題では、am reading（現在進行形）か、was reading（過去進行形）かを選ぶ問題だね。

whenから始まる意味のカタマリに注目 しよう。
when you went to the partyは「あなたがパーティーに出かけたとき」という意味だね。
つまりこの文は「あなたがパーティーに出かけたまさにその時、私は本を読んでいました」という意味になる。だから 過去進行形を使う んだね。
なので、(3)では過去進行形 was reading が正解だよ。