高校数学Ⅲ
5分で解ける!複素数の実数倍が表す点に関する問題
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問題
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問題の解説授業
POINT
![高校数Ⅲ 複素数平面4 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/1_1_4_3/k_mat_3_1_1_4_1_image01.png)
3点O,α,βが一直線上にある⇔β=kα (kは実数)
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3点O,α,βが一直線上にあることからβ=kα (kは実数)と表せます。α=3-yi,β=1+2iをこの式に代入してみましょう。
β=kα
⇔1+2i=3k-kyi
kyという未知数同士のかけ算が出てしまいました。
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未知数同士のかけ算はできるだけ避けたほうが良い計算なので,今回は,「α=kβ(kは実数)」とおいてみましょう。「αがβの実数倍」は,「βがαの実数倍」と同じことです。すると,
α=kβ
⇔3-yi=k(1+2i)
⇔3-yi=k+2ki
ここで,左辺と右辺について,実部(iのついていない部分)同士と虚部(iのついている部分)同士の係数を比べると,
3=k,-y=2k
となりますよね。この方程式を解くと,次のように答えが求まります。
答え
![高校数Ⅲ 複素数平面4 問題2 解答](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/1_1_4_3/k_mat_3_1_1_4_3_image02.png)
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「3点O,α,βが一直線上にある」というヒントをもとに,未知数yの値を定める問題です。次のポイントのように, 「複素数平面上で3点O,α,βが一直線上にある」 ならば 「β=kα (kは実数)」 が成り立ちます。