高校数学Ⅱ

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5分で解ける!sinθ-cosθ、sinθcosθとsin^3θ-cos^3θに関する問題

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5分で解ける!sinθ-cosθ、sinθcosθとsin^3θ-cos^3θに関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 三角関数15 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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sin3θ-cos3θの値を求める問題です。
3乗の因数分解公式を使って、sin,cosの差と積の形で表すのがポイントでした。

POINT
高校数学Ⅱ 三角関数15 ポイント

まずはsinθ-cosθの値を求めよう

高校数学Ⅱ 三角関数15 練習

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sinθcosθの値が-1/5と与えられ、θの範囲はπ/2<θ<πですね。 sin3θ-cos3θを求めるためにはsin,cosの差と積の値が必要 です。

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sinθ-cosθは (sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ を使って求めましょう!
sinθcosθ=-1/5より、
(sinθ-cosθ)2=1-2×(-1/5)
(sinθ-cosθ)2=7/5

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ここで注意!
今回の問題では、θの範囲が存在しますね?
なので2乗を外すときに範囲を考える必要があります。π/2<θ<πより、θは 第2象限 にあるので sinθ>0,cosθ<0 となり、 sinθ-cosθ>0 といえますね!
よって、sinθ-cosθ=√7/√5と求まります。

sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(1+sinθcosθ)

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次に sin3θ-cos3θを求めましょう。
sinθcosθ=-1/5、sinθ-cosθ=√7/√5より、
sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(1+sinθcosθ)
⇔sin3θ-cos3θ=√7/√5×{1+(-1/5)}
⇔sin3θ-cos3θ=4/5×√7/√5
と求まります。

答え
高校数学Ⅱ 三角関数15 練習 答え
sinθ-cosθ、sinθcosθとsin^3θ-cos^3θ
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