sinの値を手掛かりにして、tanの値を求める問題ですね。
三平方の定理を使い、直角三角形の図を作るのがポイントでした。

まず、0＜θ＜2πに注目しましょう。
度数法で0°から360°の間にあるという意味ですね。

次にsinθ=-√2/√5を見てみましょう。0＜θ＜2πの時でsinの値がマイナスになるのは θが第3,4象限 にある時でした。

では直角三角形を図にしていきましょう。
sinは高さ/斜辺 なので、直角三角形の 高さ√2、斜辺√5 とわかります。
底辺は、 三平方の定理 を使えば、
a²+b²=c²
√2²+底辺²=√5²
底辺=√3
とわかります。

後はこの直角三角形を第3,第4象限に貼り付けてしまえばよいですね。

第3,4象限の2パターンの答えがでることに注意しましょう。
図を元にtanθを求めると
第3象限の時、tanθ=高さ/底辺より√2/√3
第4象限の時、tanθ=-√2/√3
と求まります。