高校数学Ⅱ

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5分で解ける!sinθ+cosθ、sinθcosθとsin^3θ十cos^3θに関する問題

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5分で解ける!sinθ+cosθ、sinθcosθとsin^3θ十cos^3θに関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 三角関数13 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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sin3θ+cos3θの値を求める問題ですね。
3乗の因数分解公式を使って、sin、cosの和と積で表すのがポイントでした。

POINT
高校数学Ⅱ 三角関数13 ポイント

まずはsinθ+cosθの値を求める!

高校数学Ⅱ 三角関数13 練習

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sinθcosθの値が1/8で、θの範囲が0<θ<π/2と与えられています。 sin3θ+cos3θを求めるためにはsin,cosの和と積の値が必要 です。まずsinθ+cosθの値を (sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ を使って求めましょう。

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sinθcosθ=1/8より、
(sinθ+cosθ)2=1+2×1/8となり
(sinθ+cosθ)2=5/4

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ここで注意!
今回の問題では、θの範囲が存在しますね。なので2乗を外すときに範囲を考える必要があります。
0<θ<π/2よりθは 第1象限 にあるので sinθ>0,cosθ>0 となり、 sinθ+cosθ>0 といえますね!よって、sinθ+cosθ=√5/2と求まります。

sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

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次に sin3θ+cos3θを求めましょう。
sinθcosθ=1/8、sinθ+cosθ=√5/2より
sin3θ+cos3θ
= (sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
=√5/2×(1-1/8)
=7√5/16
と求まります。

答え
高校数学Ⅱ 三角関数13 練習 答え
sinθ+cosθ、sinθcosθとsin^3θ十cos^3θ
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