高校数学Ⅱ
5分で解ける!sinθ+cosθ、sinθcosθとsin^3θ十cos^3θに関する問題
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POINT
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まずはsinθ+cosθの値を求める!
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sinθcosθの値が1/8で、θの範囲が0<θ<π/2と与えられています。 sin3θ+cos3θを求めるためにはsin,cosの和と積の値が必要 です。まずsinθ+cosθの値を (sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ を使って求めましょう。
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sinθcosθ=1/8より、
(sinθ+cosθ)2=1+2×1/8となり
⇔ (sinθ+cosθ)2=5/4
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ここで注意!
今回の問題では、θの範囲が存在しますね。なので2乗を外すときに範囲を考える必要があります。
0<θ<π/2よりθは 第1象限 にあるので sinθ>0,cosθ>0 となり、 sinθ+cosθ>0 といえますね!よって、sinθ+cosθ=√5/2と求まります。
sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
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次に sin3θ+cos3θを求めましょう。
sinθcosθ=1/8、sinθ+cosθ=√5/2より
sin3θ+cos3θ
= (sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
=√5/2×(1-1/8)
=7√5/16
と求まります。
答え
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sin3θ+cos3θの値を求める問題ですね。
3乗の因数分解公式を使って、sin、cosの和と積で表すのがポイントでした。