「解と係数の関係」を利用する問題をもう１つ解いてみましょう。
例題より、少し複雑ですが、同じポイントが使えますよ。

この問題を解くうえで大事な手順があります。

すると「手順1」はすぐわかりますね。
a=1,b=4,c=8となるので、 α+β=-4 αβ＝8 となります。

では「手順2」です。
α+β=-4 αβ＝8 が
上手に利用できるように整理するのがコツです。

(α-2)(β-2)
=αβ-2α-2β+4
= αβ -2 (α+β) +4
となりますね。

α²+β²
= (α+β)²-2αβ
となります。