5分で解ける!三角関数表示の曲線(2)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
解説
θを消去して,x,yの関係式をつくるには?
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媒介変数表示の問題は, x=(θの式),y=(θの式) を手掛かりにして,曲線Cをx,yの方程式で表せばよいですね。
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前回の授業では,媒介変数θで表されたx,yの式について, cosθ=(xの式),sinθ=(yの式) をつくり,sin2θ+cos2θ=1に代入しました。しかし,今回の問題では,同じ解法が使えません。問題に登場する三角関数をよくみてください。
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登場する三角関数はcosとtanです。したがって,数学Ⅰで学習した三角比の相互関係の公式のうち, 1+tan2θ=(1/cosθ)2 の方を利用しましょう。
![式と曲線23 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_2_23_1/k_mat_3_2_2_23_1_image02.png)
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x=1/cosθ,y=tanθの式からは, 1/cosθ=(xの式),tanθ=(yの式) が作れますね。これらを 1+tan2θ=(1/cosθ)2 に代入すると,うまくx,yの関係式をつくることができるのです。
「1+tan2θ=(1/cosθ)2」の式に代入
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では,与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=1/cosθ,y=tanθより,
1/cosθ=x
tanθ=y
と表せますね。このようにして 1/cosθ=(xの式),tanθ=(yの式) を作ったら, 1+tan2θ=(1/cosθ)2 に代入しましょう。
1+tan2θ=(1/cosθ)2
1+y2=x2
tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,y2の係数が負となる双曲線の方程式になります。
![式と曲線23 問題 (1)答えすべて](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_2_23_1/k_mat_3_2_2_23_1_image04.png)
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同じようにして,与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=2/cosθ,y=tanθ+1より,
1/cosθ=x/2
tanθ=y-1
と表せますね。このようにして1/cosθ=(xの式),tanθ=(yの式)を作ったら,1+tan2θ=(1/cosθ)2に代入しましょう。
1+tan2θ=(1/cosθ)2
1+(y-1)2=(x/2)2
tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,y2の係数が負となる双曲線の方程式になります。
![式と曲線23 問題 (2)答えすべて](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_2_23_1/k_mat_3_2_2_23_1_image06.png)
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x=1/cosθ,y=tanθのように,xとyの式が三角関数cosθ,tanθによって表されています。この問題では,θが媒介変数となります。変数θによってxとyの関係が間接的に表されているのですね。