高校数学Ⅲ

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5分で解ける!三角関数表示の曲線(2)に関する問題

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5分で解ける!三角関数表示の曲線(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
三角関数表示の曲線(2)

式と曲線23 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x=1/cosθ,y=tanθのように,xとyの式が三角関数cosθ,tanθによって表されています。この問題では,θが媒介変数となります。変数θによってxとyの関係が間接的に表されているのですね。

θを消去して,x,yの関係式をつくるには?

式と曲線23 問題

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媒介変数表示の問題は, x=(θの式),y=(θの式) を手掛かりにして,曲線Cをx,yの方程式で表せばよいですね。

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前回の授業では,媒介変数θで表されたx,yの式について, cosθ=(xの式),sinθ=(yの式) をつくり,sin2θ+cos2θ=1に代入しました。しかし,今回の問題では,同じ解法が使えません。問題に登場する三角関数をよくみてください。

式と曲線23 問題

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登場する三角関数はcosとtanです。したがって,数学Ⅰで学習した三角比の相互関係の公式のうち, 1+tan2θ=(1/cosθ)2 の方を利用しましょう。

POINT
式と曲線23 ポイント
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x=1/cosθ,y=tanθの式からは, 1/cosθ=(xの式),tanθ=(yの式) が作れますね。これらを 1+tan2θ=(1/cosθ)2 に代入すると,うまくx,yの関係式をつくることができるのです。

「1+tan2θ=(1/cosθ)2」の式に代入

式と曲線23 問題(1)

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では,与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=1/cosθ,y=tanθより,
1/cosθ=x
tanθ=y
と表せますね。このようにして 1/cosθ=(xの式),tanθ=(yの式) を作ったら, 1+tan2θ=(1/cosθ)2 に代入しましょう。
1+tan2θ=(1/cosθ)2
1+y2=x2
tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,y2の係数が負となる双曲線の方程式になります。

(1)の答え
式と曲線23 問題 (1)答えすべて

式と曲線23 問題(2)

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同じようにして,与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=2/cosθ,y=tanθ+1より,
1/cosθ=x/2
tanθ=y-1
と表せますね。このようにして1/cosθ=(xの式),tanθ=(yの式)を作ったら,1+tan2θ=(1/cosθ)2に代入しましょう。
1+tan2θ=(1/cosθ)2
1+
(y-1)2
=
(x/2)2

tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,y2の係数が負となる双曲線の方程式になります。

(2)の答え
式と曲線23 問題 (2)答えすべて
三角関数表示の曲線(2)
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      式と曲線

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          媒介変数表示と極座標

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