高校数学Ⅲ

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5分で解ける!媒介変数表示の曲線に関する問題

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5分で解ける!媒介変数表示の曲線に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
媒介変数表示の曲線

式と曲線21 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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変数tで表されたxとyの式を手掛かりに,曲線Cの方程式を求める問題です。この問題で出てくる変数tを媒介変数といいます。

媒介変数とは?

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媒介変数は聞きなれない言葉ですよね。簡単に言うと,xとyの関係を間接的に表す変数のことです。例えば,(1)の式を見てください。

式と曲線21 問題(1)

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x=t+1,y=t2+4tとあります。tの値が変化すると,x,yの値も変化し,(x,y)の値の組合せが決まっていくことがわかるでしょうか?

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試しにt=0とt=1を代入してみると,
t=0のとき
x=0+1=1,y=02+4×0=0
となり,(x,y)の値が(1,0)に定まります。
t=1のとき
x=1+1=2,y=12+4×1=5
となり,(x,y)の値が(2,5)に定まります。

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x=t+1,y=t2+4tという式が,変数tによってxとyの関係が間接的に表されていることがわかりましたか。tの値の変化によって(x,y)の値の組合せが決まっていき,曲線Cができあがります。

x,yの関係式に変換するには?

式と曲線21 問題

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この問題では,曲線Cをx,yの方程式で表すのがゴールです。ようするに, x=(tの式),y=(tの式) を手掛かりにして,直接x,yの関係式をつくることができればよいのです。

POINT
式と曲線21 ポイント
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tを消去したx,yの関係式ができれば,直線,放物線,円などの図形の方程式が出てきます。

「t=~」の式を代入

式と曲線21 問題(1)

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では,与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=t+1より,
t=x-1
と表せますね。このようにして 「t=~」の式 を作ったら, y=(tの式) に代入しましょう。
y=t2+4t
y= (x-1)2 +4 (x-1)
tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,曲線Cの方程式になります。

(1)の答え
式と曲線21 問題(1)

「√t=~」の式を代入

式と曲線21 問題(2)

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与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=2√tより,
√t=x/2
と表せますね。 y=(tの式) に√tが登場するので,「t=~」の式にせず,√t=x/2のまま代入していきます。
y=√t-2t
y= (x/2) -2× (x/2)2
tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,曲線Cの方程式になります。

式と曲線21 問題(2)の答え 1~3行目

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ただし,このまま答えとすると誤りになってしまいます。その理由がわかりますか?

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y=(x/2)-(x2/2) という式では,xの変域が実数全体となりますよね。しかし,実際にはx=2√tで,√t≧0よりx≧0となります。 y=(x/2)-(x2/2) という式に,x≧0という制限をつけないと,正しい答えにはならないのです。

(2)の答え
式と曲線21 問題(1)
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x≧0という制限は,些細なことに見えるかもしれませんが,とても重要です。tを消去した後のx,yの変域には十分注意しましょう。

媒介変数表示の曲線
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      式と曲線

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          媒介変数表示と極座標

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