変数tで表されたxとyの式を手掛かりに，曲線Cの方程式を求める問題です。この問題で出てくる変数tを媒介変数といいます。

媒介変数は聞きなれない言葉ですよね。簡単に言うと，xとyの関係を間接的に表す変数のことです。例えば，(1)の式を見てください。

x=t+1,y=t²+4tとあります。tの値が変化すると，x,yの値も変化し，(x,y)の値の組合せが決まっていくことがわかるでしょうか？

試しにt=0とt=1を代入してみると，
t=0のとき
x=0+1=1,y=0²+4×0=0
となり，(x,y)の値が(1,0)に定まります。
t=1のとき
x=1+1=2,y=1²+4×1=5
となり，(x,y)の値が(2,5)に定まります。

x=t+1,y=t²+4tという式が，変数tによってxとyの関係が間接的に表されていることがわかりましたか。tの値の変化によって(x,y)の値の組合せが決まっていき，曲線Cができあがります。

この問題では，曲線Cをx,yの方程式で表すのがゴールです。ようするに， x=(tの式)，y=(tの式) を手掛かりにして，直接x,yの関係式をつくることができればよいのです。

tを消去したx,yの関係式ができれば，直線，放物線，円などの図形の方程式が出てきます。

では，与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=t+1より，
t=x-1
と表せますね。このようにして 「t=～」の式 を作ったら， y=(tの式) に代入しましょう。
y=t²+4t
y= (x-1)² +4 (x-1)
tが消去され，x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると，曲線Cの方程式になります。

与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=2√tより，
√t=x/2
と表せますね。 y=(tの式) に√tが登場するので，「t=～」の式にせず，√t=x/2のまま代入していきます。
y=√t-2t
y= (x/2) -2× (x/2)²
tが消去され，x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると，曲線Cの方程式になります。

ただし，このまま答えとすると誤りになってしまいます。その理由がわかりますか？

y=(x/2)-(x²/2) という式では，xの変域が実数全体となりますよね。しかし，実際にはx=2√tで，√t≧0よりx≧0となります。 y=(x/2)-(x²/2) という式に，x≧0という制限をつけないと，正しい答えにはならないのです。

x≧0という制限は，些細なことに見えるかもしれませんが，とても重要です。tを消去した後のx,yの変域には十分注意しましょう。