高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分で解ける!三角関数表示の曲線(1)に関する問題

11
Movie size

5分で解ける!三角関数表示の曲線(1)に関する問題

11

子どもの勉強から大人の学び直しまで
ハイクオリティーな授業が見放題

カンタン登録1分

この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
三角関数表示の曲線(1)

式と曲線22 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
lecturer_avatar

x=2cosθ+2,y=3sinθ+3のように,xとyの式が三角関数cosθ,sinθによって表されています。この問題では,θが媒介変数となります。変数θによってxとyの関係が間接的に表されているのですね。

θを消去して,x,yの関係式をつくるには?

式と曲線22 問題

lecturer_avatar

この問題では,曲線Cをx,yの方程式で表し,グラフを描くのがゴールです。ようするに, x=(θの式),y=(θの式) を手掛かりにして,直接x,yの関係式をつくることができればよいのです。

lecturer_avatar

前回の授業では,媒介変数tで表されたx,yの式について,xの式から「t=~」の式をつくり,yの式に代入しました。しかし,この問題では,
x=2cosθ+2
cosθ=(x-2)/2
としても,y=3sinθ+3にうまく代入できません。いったい,どうすればよいでしょうか?

lecturer_avatar

解き方のポイントは,数学Ⅰで学習した三角比の相互関係の公式の利用です。

POINT
式と曲線22 ポイント
lecturer_avatar

sin2θ+cos2θ=1は常に成り立ちます。x=2cosθ+2,y=3sinθ+3の式からは, cosθ=(xの式),sinθ=(yの式) が作れますね。これらをsin2θ+cos2θ=1に代入すると,うまくx,yの関係式をつくることができるのです。

「sin2θ+cos2θ=1」の式に代入

式と曲線22 問題

lecturer_avatar

では,与えられた式からx,yの関係式をつくっていきましょう。x=2cosθ+2,y=3sinθ+3より,
cosθ=(x-2)/2
sinθ=(y-3)/3
と表せますね。このようにして cosθ=(xの式),sinθ=(yの式) を作ったら,sin2θ+cos2θ=1に代入しましょう。
sin2θ+cos2θ=1
{(x-2)/2}2 + {(y-3)/3}2 =1
tが消去され,x,yの関係式をつくることができました。これを整理すると,曲線Cの方程式になります。

式と曲線22 問題 答え1~4行目

lecturer_avatar

これは楕円の方程式ですね。中心の座標はカッコの2乗の中身が0になる(x,y)を考え,(2,3)です。グラフを描くには,あと長軸・短軸の長さを求めましょう。x2,y2の分母は,それぞれ22,32となっているので,短軸の長さ2×2=4,長軸の長さ3×2=6である縦長の楕円となりますね。

答え
式と曲線22 問題 答えすべて
三角関数表示の曲線(1)
11
友達にシェアしよう!
Logo black
Register description
  • すべての授業の「要点まとめノート」「問題・解答」をPDF無料ダウンロードできる
  • 学校で使っている教科書にあわせて勉強できる
  • わからないところを質問できる

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
      こちらをご覧ください。

      この授業のポイント・問題を確認しよう

      式と曲線

      Logo black
      Register description

          会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
          ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
          こちらをご覧ください。

          媒介変数表示と極座標

          Logo black
          Register description

              会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
              ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
              こちらをご覧ください。

              高校数学Ⅲ