x,yで表された円と双曲線の方程式を，極方程式へと変換する問題です。x,yの方程式から極方程式へと変換するときは，x=rcosθ，y=rsinθを代入するのがポイントでした。

前回の授業と同じようにして解いていきましょう。

極方程式はr=f(θ)で表されます。円の方程式に，x=rcosθ，y=rsinθを代入して，rとθの関係式に置き換えましょう。(x-1)²+(y+2)²=5⇔x²-2x+y²+4y=0より，
(rcosθ)²-2rcosθ+(rsinθ)²+4rsinθ=0
⇔r²(cos²θ+sin²θ)-2rcosθ+4rsinθ=0
ここでcos²θ+sin²θ=1より，
r²-2rcosθ+4rsinθ=0……①

①をrの2次式と見て解くと，
r(r-2cosθ+4sinθ)=0より，r=2cosθ-4sinθ。極方程式は円を表します。r=0は，この極方程式r=2cosθ-4sinθに含まれる点に注意してください。

双曲線の方程式に，x=rcosθ，y=rsinθを代入して，rとθの関係式に置き換えましょう。x²-y²=1より，
(rcosθ)²-(rsinθ)²=1
⇔r²(cos²θ-sin²θ)=1
ここで三角関数の2倍角の公式より，cos²θ-sin²θ=cos2θだから，
r²cos2θ=1
となります。これ以上は整理できないので，r²を残したまま答えになります。

x,yで表された円と双曲線の方程式を，極方程式へと変換する手順がつかめましたか。最後に解法のポイントをまとめておきましょう。