1/(1+x²)を，0から1の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

分数関数は，これまでに「f'(x)/f(x)の積分」や「因数分解をした後，差分解して積分」によって計算を進めてきました。しかし，今回の1/(1+x²)は，f'(x)/f(x)の形でなく，因数分解もできません。

では，いったいどう考えたらよいのでしょうか？ ここでも，実は，前回，前々回の授業同様に，三角関数の公式が活躍します。(1+x²)を，
1+tan²θ=1/cos²θ
と比較して考えてみましょう。x=tanθとおくことで，
1+x²=1+tan²θ=(1/cos²θ)
と変換できます。

x=tanθとおいて，この問題を解いていきましょう。まず，積分区間の確認です。xは0から1まで動くので，θは，
x=0のとき，tanθ=0より，θ=0
x=1のとき，tanθ=1より，θ=(π/4)
となります。つまり，θは0から(π/4)まで動くことがわかりますね。

x=tanθの両辺をθで微分すると，
(d/dθ)x=(1/cos²θ) より，dx=(1/cos²θ)dθとなります。

よって，x=tanθとおくとき，次のように積分計算を進められます。

1を積分すると，θです。あとは，上端の(π/4)，下端の0を代入して「(上端)ー(下端)」を計算すれば，答えが求まります。

x=tanθの置換を，はじめて見る問題で思いつくのはなかなか厳しいです。この問題を例に， (a²+x²)の定積分で使える解法 として，x=atanθの置換を覚えておくとよいでしょう。