高校数学Ⅲ

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5分でわかる!定積分で表される関数(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

定積分で表される関数(1)

積分法とその応用33 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は定積分で表される関数について解説しましょう。

定積分で表される関数とは?

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定積分は,具体的な上端,下端の値を代入して計算を進めます。したがって,定積分の式で出てくる値は,-1,2,(π/2)など具体的な値となりますよね。

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ところが,∫1xf(t)dtのように上端がxである場合,どうなるでしょうか?∫1xf(t)dtを計算した式は,(xの式)になります。つまり,定積分の式がxの関数の式になるのですね。このような式を,定積分で表される関数と言います。

微分をすれば∫が外れる!

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定積分で表された関数は,解法を知らないと何から計算していいかわかりませんよね。カギとなるのは, ∫(インテグラル)の眺め方 です。

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∫f(t)dt=F(t)とおくとき,両辺をtで微分して,
f(t)=F'(t)……①
が成り立ちます。f(t)を積分した式がF(t)なので,F(t)を微分するとf(t)となるのですね。

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また,
axf(t)dt=F(x)-F(a)
と表せます。このとき,F(a)はただの定数です。したがって,両辺をxで微分すると,
(d/dx)∫axf(t)dt=F'(x)
この式に①をあわせると,次のポイントが成り立ちます。

POINT
積分法とその応用33 ポイント
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つまり, axf(t)dtをxで微分すれば,f(x)の式になる のです。このように上端または下端にxが登場する問題では,微分する発想がカギになります。 微分をすれば∫が外れる! ということをおさえておきましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

定積分で表される関数(1)
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