高校数学Ⅲ

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5分で解ける!定積分の置換積分(3)に関する問題

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5分で解ける!定積分の置換積分(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
定積分の置換積分(3)

積分法とその応用29 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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1/√(4-x2)を,1から√3の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

1-〇2を□2にするには?

積分法とその応用29 問題

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前回学習した√(1-x2)の積分と同じように考えましょう。ルートの中身が,もし2乗の形であれば,ルートがうまく外れてくれますね。 (4-x2)を□2に置換 する方法を考えます。

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1-sin2θ=cos2θ を使うために,x=2sinθとおくことで,
√(4-x2)=√4(1-sin2θ)=2|cosθ|
とうまくルートを外すことができます。

θの範囲をしっかり確認

積分法とその応用29 問題

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x=2sinθとおいて,この問題を解いていきましょう。まず,積分区間の確認です。xは1から√3まで動くので,θは,
x=1のとき,2sinθ=1より,θ=π/6
x=√3のとき,2sinθ=√3より,θ=(π/3)
となります。つまり,θ(π/6)から(π/3)まで動くことがわかりますね。

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また,x=2sinθの両辺をθで微分すると,
(d/dθ)x=2cosθ より,dx=2cosθdθとなります。

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よって,求める式は,

積分法とその応用29 問題 答え1~9行目まで

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と変形できます。

1を積分して,(上端)ー(下端)を計算

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1をθで積分すると,θです。あとは,上端の(π/3),下端の(π/6)を代入して「(上端)ー(下端)」を計算すれば,答えが求まります。

答え
積分法とその応用29 問題 答え

√(a2-x2)のときに使える置換積分

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x=2sinθの置換を,はじめて見る問題で思いつくのはなかなか厳しいです。この問題を例に, √(a2-x2)の定積分で使える解法 として,x=asinθの置換を覚えておくとよいでしょう。

POINT
積分法とその応用29 ポイント
定積分の置換積分(3)
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