1/√(4-x²)を，1から√3の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

前回学習した√(1-x²)の積分と同じように考えましょう。ルートの中身が，もし2乗の形であれば，ルートがうまく外れてくれますね。 (4-x²)を□²に置換 する方法を考えます。

1-sin²θ=cos²θ を使うために，x=2sinθとおくことで，
√(4-x²)=√4(1-sin²θ)=2|cosθ|
とうまくルートを外すことができます。

x=2sinθとおいて，この問題を解いていきましょう。まず，積分区間の確認です。xは1から√3まで動くので，θは，
x=1のとき，2sinθ=1より，θ=π/6
x=√3のとき，2sinθ=√3より，θ=(π/3)
となります。つまり，θ(π/6)から(π/3)まで動くことがわかりますね。

また，x=2sinθの両辺をθで微分すると，
(d/dθ)x=2cosθ より，dx=2cosθdθとなります。

よって，求める式は，

と変形できます。

1をθで積分すると，θです。あとは，上端の(π/3)，下端の(π/6)を代入して「(上端)ー(下端)」を計算すれば，答えが求まります。

x=2sinθの置換を，はじめて見る問題で思いつくのはなかなか厳しいです。この問題を例に， √(a²-x²)の定積分で使える解法 として，x=asinθの置換を覚えておくとよいでしょう。