高校数学Ⅲ

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5分で解ける!定積分で表される関数(2)に関する問題

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5分で解ける!定積分で表される関数(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
定積分で表される関数(2)

積分法とその応用34 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=x+∫0πf(t)sintdt を満たす関数を求める問題です。パッと見ただけでは,何から手をつけていいかよくわかりませんよね。とくに, 0πf(t)sintdt の部分が複雑です。

0πf(t)sintdtはどんな式?

積分法とその応用34 問題

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まずは,∫0πf(t)sintdtの意味から考えていきましょう。∫0πf(t)sintdtは,0からπまでの区間で,f(t)sintを定積分した値を表します。注目するポイントは,積分区間です。f(t)がどんな式かわかりませんが,積分区間が「0からπ」という具体的な値なので, 0πf(t)sintdtの値は定数 だとわかります。

POINT
積分法とその応用34 ポイント
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同じ定積分でも,∫axf(t)dtは,上端がxなので,xの関数の式になります。定積分した後に,xの式になるか,定数になるかの区別をしっかりつけましょう。

f(x)=x+kとおく!

積分法とその応用34 問題

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定数∫0πf(t)sintdt=kとおきましょう。すると,
f(x)=x+k
です。これにより,正体不明だったf(t)が,f(t)=t+kと表せます。

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よって,k=∫0πf(t)sintdtに,f(t)=t+kを代入して,
k=∫0π(t+k)sintdt
k=∫0πtsintdt+k∫0πsintdt
これを計算すると,次のようにkの値が求まります。

積分法とその応用34 問題 答え3~7行目

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求めたいのはf(x)の式なので,f(x)=x+kにk=-πを代入すれば答えとなります。

答え
積分法とその応用33 問題 答え
定積分で表される関数(2)
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