高校数学Ⅲ
5分で解ける!定積分で表される関数(2)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
定積分で表される関数(2)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
∫0πf(t)sintdtはどんな式?
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まずは,∫0πf(t)sintdtの意味から考えていきましょう。∫0πf(t)sintdtは,0からπまでの区間で,f(t)sintを定積分した値を表します。注目するポイントは,積分区間です。f(t)がどんな式かわかりませんが,積分区間が「0からπ」という具体的な値なので, ∫0πf(t)sintdtの値は定数 だとわかります。
POINT
![積分法とその応用34 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_2_34_1/k_mat_3_7_2_34_1_image02.png)
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同じ定積分でも,∫axf(t)dtは,上端がxなので,xの関数の式になります。定積分した後に,xの式になるか,定数になるかの区別をしっかりつけましょう。
f(x)=x+kとおく!
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定数∫0πf(t)sintdt=kとおきましょう。すると,
f(x)=x+k
です。これにより,正体不明だったf(t)が,f(t)=t+kと表せます。
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よって,k=∫0πf(t)sintdtに,f(t)=t+kを代入して,
k=∫0π(t+k)sintdt
⇔ k=∫0πtsintdt+k∫0πsintdt
これを計算すると,次のようにkの値が求まります。
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求めたいのはf(x)の式なので,f(x)=x+kにk=-πを代入すれば答えとなります。
答え
![積分法とその応用33 問題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/7_2_34_1/k_mat_3_7_2_34_1_image04.png)
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f(x)=x+∫0πf(t)sintdt を満たす関数を求める問題です。パッと見ただけでは,何から手をつけていいかよくわかりませんよね。とくに, ∫0πf(t)sintdt の部分が複雑です。