tanθを，0から(π/3)の区間で定積分する問題です。「積分した式を求める」→「(上端)ー(下端)」の順番で計算していきましょう。

tanθの不定積分は， (tanθ)'=-log|cosθ|+C となるのを覚えていますか？

上のポイントの内容を補足しましょう。三角関数の公式より，tanθ=(sinθ/cosθ)です。分母cosθを微分すると-sinθとなるので，f'(x)/f(x)の積分公式より，-log|cosθ|となります。マイナスの符号に注意してください。

次に， -log|cosθ| に，上端の(π/3)，下端の0を代入して「(上端)ー(下端)」を計算します。

∫₀^(π/3)tanθdθ
=-[log|cosθ|]₀^(π/3)
=-{log|cos(π/3)|-log|cos0|}
=-log(1/2)+log1
=-log2^-1
=log2
と求まります。