高校数学Ⅲ

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5分で解ける!定積分で表される関数(1)に関する問題

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5分で解ける!定積分で表される関数(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

積分法とその応用33 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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0x(x-t)costdtの導関数を求める問題です。上端にxが入っているだけでなく,∫の横の式にも(x-t)が入っていてややこしいですね。

0x(x-t)costdtはどんな関数

積分法とその応用33 問題2

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まずは,∫0x(x-t)costdtがどんな式か考えてみましょう。∫0xf(t)dtは,f(t)の式をtで積分することを表します。つまり,f(t)の式の中に含まれるt以外の文字は定数扱いになるのですね。よって,次のように展開できます。

積分法とその応用33 問題2 答え1行目

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x∫0xcostdtも,∫0xtcostdtも(xの式)です。したがって,∫0x(x-t)costdtはxの関数だとわかりました。

(xの式)だから,xで微分

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0x(x-t)costdtは(xの式)です。したがって,導関数は,xで微分すれば求められます。このとき,次のポイントを活用しましょう。

POINT
積分法とその応用33 ポイント
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0xcostdtはxで微分するとcosx,∫0xtcostdtはxで微分すると,xcosxです。ただし,この問題では, x∫0xcostdt の項が,(xの式)×(xの式)という積の形であることに注意してください。積の微分公式を使って,次のように答えが求まります。

答え
積分法とその応用33 問題2 答え
定積分で表される関数(1)
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